【圓的解析幾何性質(zhì)和定理】
〖圓的解析幾何方程〗
圓的標準方程:在平面直角坐標系中,以點O(a,b)為圓心,以r為半徑的圓的標準方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圓的一般方程:把圓的標準方程展開,移項,合并同類項后,可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。其中和標準方程對比,其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2。該圓圓心坐標為(-D/2,-E/2),半徑r=0.5√D^2+E^2-4F。
圓的離心率e=0,在圓上任意一點的曲率半徑都是r。
進過圓 x^2+y^2=r^2上一點M(a0,b0)的切線方程為 a0*x+b0*y=r^2
〖圓與直線的位置關(guān)系判斷〗
平面內(nèi),直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是:
1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成為一個關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0。利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關(guān)系如下:
如果b^2-4ac>0,則圓與直線有2交點,即圓與直線相交。
如果b^2-4ac=0,則圓與直線有1交點,即圓與直線相切。
如果b^2-4ac2.如果B=0即直線為Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y軸(或垂直于x軸),將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b,求出此時的兩個x值x1、x2,并且規(guī)定x1當x=-C/Ax2時,直線與圓相離;
當x1半徑r,直徑d
在直角坐標系中,圓的解析式為:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F
=>圓心坐標為(-D/2,-E/2)
其實只要保證X方Y(jié)方前系數(shù)都是1
就可以直接判斷出圓心坐標為(-D/2,-E/2)
這可以作為一個結(jié)論運用的
且r=根號(圓心坐標的平方和-F)
[編輯本段]圓知識點總結(jié)
平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。
圓心:圓中心固定的一點叫做圓心。用字母o或⊙表示
直徑:通過圓心,并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。
半徑:連接圓心和圓上任意一點的線段,叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。
圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形,每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中:直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d
圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小,圓心決定圓的位置。
圓的周長:圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長,用字母C表示。
圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。
圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù),把它叫做圓周率,它是一個無限不循環(huán)小數(shù),用字母π表示。計算時,通常取它的近似值,π≈3.14。
直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。
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高中數(shù)學之直線與圓的方程
一、概念理解:
1、傾斜角:①找α:直線向上方向、x軸正方向;
②平行:α=0°;
③范圍:0°≤α2、斜率:①找k:k=tanα(α≠90°);
②垂直:斜率k不存在;
③范圍:斜率k∈R。
3、斜率與坐標:①構(gòu)造直角三角形(數(shù)形結(jié)合);
②斜率k值于兩點先后順序無關(guān);
③注意下標的位置對應。
4、直線與直線的位置關(guān)系:①相交:斜率(前提是斜率都存在)
特例----垂直時:;
斜率都存在時:。
②平行:斜率都存在時:;
斜率都不存在時:兩直線都與x軸垂直。
③重合:斜率都存在時:;
二、方程與公式:
1、直線的五個方程:
①點斜式:將已知點直接帶入即可;
②斜截式:將已知截距直接帶入即可;
③兩點式:將已知兩點直接帶入即可;
④截距式:將已知截距坐標直接帶入即可;
⑤一般式:,其中A、B不同時為0用得比較多的是點斜式、斜截式與一般式。
2、求兩條直線的交點坐標:直接將兩直線方程聯(lián)立,解方程組即可
3、距離公式:
①兩點間距離:②點到直線距離:③平行直線間距離:4、中點、三分點坐標公式:已知兩點
①AB中點:②AB三分點:靠近A的三分點坐標
靠近B的三分點坐標
中點坐標公式,在求對稱點、第四章圓與方程中,經(jīng)常用到。圓內(nèi)的最長弦是直徑
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高一數(shù)學期中復習之一——圓
一.基本知識之關(guān)于圓的方程
1.圓心為,半徑為的圓的標準方程為:.特殊地,
當時,圓心在原點的圓的方程為:.
2.圓的一般方程,其中.
圓心為點,半徑,
3.二元二次方程,表示圓的方程的充要條件是:
①項項的系數(shù)相同且不為,即;②沒有項,即;③.
4.圓:的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
特殊地,的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
5.圓系方程:過圓:與圓:交點的圓系方程是(不含圓),
當時圓系方程變?yōu)閮蓤A公共弦所在直線方程.
二.基本知識之關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系|相切|相交|相離|
幾何特征|代數(shù)特征|
將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程,設它的判別式為,圓的半徑為,圓心到直線的距離為,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系:
直線截圓所得弦長的計算方法:
①利用弦長計算公式:設直線與圓相交于,兩點,
則弦;
②利用垂徑定理和勾股定理:(其中為圓的半徑,直線到圓心的距離).
3.圓與圓的位置關(guān)系:設兩圓的半徑分別為和,圓心距為,則兩圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系:
位置關(guān)系|外離|外切|相交|內(nèi)切|內(nèi)含|
幾何特征|代數(shù)特征|無實數(shù)解|一組實數(shù)解|兩組實數(shù)解|一組實數(shù)解|無實數(shù)解|
三.分類例題練習解:(
圓的方程
1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑。
2、圓的方程
(1)標準方程,
圓心,半徑為r;
(2)一般方程
當 時,方程表示圓,此時圓心為,半徑為
當 時,表示一個點;當時,方程不表示任何圖形。
(3)求圓方程的方法:
一般都采用待定系數(shù)法:先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件,
若利用圓的標準方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點,以此來確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關(guān)系:
直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷:
(1)設直線 ,圓 ,圓心到l的距離為,則有 ;;
(2)過圓外一點的切線:①k不存在,驗證是否成立②k存在,設點斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】
(3)過圓上一點的切線方程:
①圓x2+y2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(課本命題).
②圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣).
4、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。
設圓,
兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。
當時兩圓外離,此時有公切線四條;
當時兩圓外切,連心線過切點,有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;
當時兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;
當 時,兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點,只有一條公切線;
當 時,兩圓內(nèi)含;當時,為同心圓。
(一)圓的標準方程 1. 圓的定義:平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓。
定點叫圓的圓心,定長叫做圓的半徑。 2. 圓的標準方程:已知圓心為(a,b),半徑為r,則圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2。
說明: (1)上式稱為圓的標準方程。 (2)如果圓心在坐標原點,這時a=0,b=0,圓的方程就是x2+y2=r2。
(3)圓的標準方程顯示了圓心為(a,b),半徑為r這一幾何性質(zhì),即(x-a)2+(y-b)2=r2----圓心為(a,b),半徑為r。 (4)確定圓的條件 由圓的標準方程知有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r,這時圓的方程就被確定.因此,確定圓的方程,需三個獨立的條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定型條件。
(5)點與圓的位置關(guān)系的判定 若點M(x1,y1)在圓外,則點到圓心的距離大于圓的半徑,即(x-a)2+(y-b)2>r2 ; 若點M(x1,y1)在圓內(nèi),則點到圓心的距離小于圓的半徑,即(x-a)2+(y-b)2 ;(二)圓的一般方程 任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0① 將①配方得: ②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4 當時,方程①表示以(-D/2,-E/2)為圓心,以為半徑的圓; 當時,方程①只有實數(shù)解,所以表示一個點(-D/2,-E/2); 當時,方程①沒有實數(shù)解,因此它不表示任何圖形。 故當時,方程①表示一個圓,方程①叫做圓的一般方程。
圓的標準方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心和半徑,而一般方程突出了方程形式上的特點: (1)和的系數(shù)相同,且不等于0; (2)沒有xy這樣的二次項。 以上兩點是二元二次方程表示圓的必要條件,但不是充分條件。
要求出圓的一般方程,只要求出三個系數(shù)D、E、F就可以了。(三)直線和圓的位置關(guān)系 1. 直線與圓的位置關(guān)系 研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法: (l)幾何法:令圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r。
d>r直線與圓相離;d=r直線與圓相切;0≤d<r直線與圓相交。 (2)代數(shù)法:聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組,消元后得到一元二次方程,其判別式為Δ。
△0直線與圓相交。 說明:幾何法研究直線與圓的關(guān)系是常用的方法,一般不用代數(shù)法。
2. 圓的切線方程 (1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2 (2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ; (3)過圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上一點P(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y+D·(x0+x)/2+E·(y0+y)/2+F=0 3. 直線與圓的位置關(guān)系中的三個基本問題 (1)判定位置關(guān)系。方法是比較d與r的大小。
(2)求切線方程。若已知切點M(x0,y0),則切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ; 若已知切線上一點N(x0,y0),則可設切線方程為y-y0=k(x-x0),然后利用d=r求k,但需注意k不存在的情況。
(3)關(guān)于弦長:一般利用勾股定理與垂徑定理,很少利用弦長公式,因其計算較繁,另外,當直線與圓相交時,過兩交點的圓系方程為 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 (四)圓與圓的位置關(guān)系 1. 圓與圓的位置關(guān)系問題 判定兩圓的位置關(guān)系的方法有二:第一種是代數(shù)法,研究兩圓的方程所組成的方程組的解的個數(shù);第二種是研究兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。第一種方法因涉及兩個二元二次方程組成的方程組,其解法一般較繁瑣,故使用較少,通常使用第二種方法,具體如下: 圓(x-a1)2+(y-b1)2=r12與圓(x-a2)2+(y-b2)2=r22的位置關(guān)系,其中r1>0,r2>0 設兩圓的圓心距為d,則d=根號下(a1-a2)2+(b1-b2)2 當d>r1+r2時,兩圓外離; 當d=r1+r2時,兩圓外切; 當|r1-r2| 當d=|r1+r2|時,兩圓內(nèi)切; 當0 兩圓位置關(guān)系的問題同直線與圓的位置關(guān)系的問題一樣,一般要轉(zhuǎn)化為距離間題來解決。
另外,我們在解決有關(guān)圓的問題時,應特別注意,圓的平面幾何性質(zhì)的應用。
知識點總結(jié)
相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)
相似三角形的定義:對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。
相似三角形的預備定理:如果一條直線平行于三角形的一條邊,且這條直線與原三角形的兩條邊(或其延長線)分別相交,那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
判定定理1:兩角對應相等,兩三角形相似。
判定定理2:兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似。
判定定理3:三邊對應成比例,兩三角形相似。
直角三角形相似的判定定理:斜邊和一條直角邊對應成比例,兩直角三角形相似。
相似三角形的性質(zhì):
相似三角形對應角相等,對應邊成比例
相似三角形具有傳遞性
相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比
相似三角形周長的比等于相似比
相似三角形面積比等于相似比的平方
直線和圓的位置關(guān)系
1.直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點,即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組,利用判別式Δ來討論位置關(guān)系.
①Δ>0,直線和圓相交.②Δ=0,直線和圓相切.③Δ方法二是幾何的觀點,即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.
①dR,直線和圓相離.
2.直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況,而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.
3.直線和圓相交,這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.
切線的性質(zhì)
⑴圓心到切線的距離等于圓的半徑;⑵過切點的半徑垂直于切線;⑶經(jīng)過圓心,與切線垂直的直線必經(jīng)過切點;⑷經(jīng)過切點,與切線垂直的直線必經(jīng)過圓心;當一條直線滿足(1)過圓心;(2)過切點;(3)垂直于切線三個性質(zhì)中的兩個時,第三個性質(zhì)也滿足.
切線的判定定理
經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
切線長定理
從圓外一點作圓的兩條切線,兩切線長相等,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
圓錐曲線性質(zhì)的探討
一、圓錐曲線的定義
1. 橢圓:到兩個定點的距離之和等于定長(定長大于兩個定點間的距離)的動點的軌跡叫做橢圓。即:。
2. 雙曲線:到兩個定點的距離的差的絕對值為定值(定值小于兩個定點的距離)的動點軌跡叫做雙曲線。即。
3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義:到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0<E<1< SPAN>;時為橢圓:當e=1時為拋物線;當e>1時為雙曲線。
二、圓錐曲線的方程
1.橢圓: + =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2)
2.雙曲線: - =1(a>0, b>0)或 - =1(a>0, b>0)(其中,c2=a2+b2)
3.拋物線:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)
三、圓錐曲線的性質(zhì)
1.橢圓: + =1(a>b>0)
(1)范圍:|x|≤a,|y|≤b(2)頂點:(±a,0),(0,±b)(3)焦點:(±c,0)(4)離心率:e= ∈(0,1)(5)準線:x=±
2.雙曲線: - =1(a>0, b>0)(1)范圍:|x|≥a, y∈R(2)頂點:(±a,0)(3)焦點:(±c,0)(4)離心率:e= ∈(1,+∞)(5)準線:x=± (6)漸近線:y=± x
3.拋物線:y2=2px(p>0)(1)范圍:x≥0, y∈R(2)頂點:(0,0)(3)焦點:( ,0)(4)離心率:e=1(5)準線:x=-
[例1] 如圖△ABC中,∠C,∠B的平分線相交于O,過O作AO的垂線與邊AB、AC分別交于D、E,求證:△BDO∽△BOC∽△OEC。
證明:易得AO平分∠BAC,AO⊥DE ∴ ∠ADO=∠AEO ∴ ∠BDO=∠CEO
又∠BDO=90°+ ∠BAC ∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB)
=90°+ ∠BAC∴ ∠BDO=∠
〖幾何中圓的定義〗 圓 幾何說:平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。
定點稱為圓心,定長稱為半徑。 軌跡說:平面上一動點以一定點為中心,一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周,簡稱圓。
集合說:到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。 〖圓的相關(guān)量〗 圓周率:圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率,值是3.。
通常用π表示,計算中常取3.14為它的近似值(但奧數(shù)常取3或3.1416)。 圓弧和弦:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧。
大于半圓的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。
經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。 圓心角和圓周角:頂點在圓心上的角叫做圓心角。
頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。 內(nèi)心和外心:過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心。
和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓,其圓心稱為內(nèi)心。 扇形:在圓上,由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。
圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~一有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理 ⑴圓的確定:畫一條線段,以線段長為半徑以一端點為圓心畫弧繞360度后得到圓。 圓的對稱性質(zhì):圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。
圓也是中心對稱圖形,其對稱中心是圓心。 垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的2條弧。
逆定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的2條弧。 ⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角,兩個圓周角,兩組弧,兩條弦,兩條弦心距中有一組量相等,那么他們所對應的其余各組量都分別相等。
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 直徑所對的圓周角是直角。
90度的圓周角所對的弦是直徑。 如果一條弧的長是另一條弧的2倍,那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。
⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理 ①一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點,到三角形三個頂點距離相等; ②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點,到三角形三邊距離相等。
③R=2S△÷L(R:內(nèi)切圓半徑,S:面積,L:周長) ④兩相切圓的連心線過切點(連心線:兩個圓心相連的線段) ⑤圓O中的弦PQ的中點M,過點M任作兩弦AB,CD,弦AD與BC分別交PQ于X,Y,則M為XY之中點。 (4)如果兩圓相交,那么連接兩圓圓心的線段(直線也可)垂直平分公共弦。
(5)圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。 (6)圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。
(7)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。 (8)圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半。
(9)圓外角的度數(shù)等于這個等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。 〖有關(guān)切線的性質(zhì)和定理〗 圓的切線垂直于過切點的半徑;經(jīng)過半徑的一端,并且垂直于這條半徑的直線,是這個圓的切線。
切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 切線的性質(zhì):(1)經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
(2)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。(3)圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。
切線長定理:從圓外一點到圓的兩條切線的長相等,那點與圓心的連線平分切線的夾角。 〖有關(guān)圓的計算公式〗 1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr^2; 3.扇形弧長l=nπr/180 4.扇形面積S=(nπr^2)/360=lr/2(l為扇形的弧長)5.圓錐側(cè)面積S=πrl 6.圓錐側(cè)面展開圖(扇形)的圓心角n=360r/l(r是底面半徑,l是母線長)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 圓知識點總結(jié) 平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。
圓心:圓中心固定的一點叫做圓心。用字母o或⊙表示 直徑:通過圓心,并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。
直徑一般用字母d表示。 半徑:連接圓心和圓上任意一點的線段,叫做圓的半徑。
半徑一般用字母r表示。 圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。
圓是軸對稱圖形,每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中:直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d 圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小,圓心決定圓的位置。
圓的周長:圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長,用字母C表示。 圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。
圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù),把它叫做圓周率,它是一個無限不循環(huán)小數(shù),用字母π表示。計算時,通常取它的近似值,π≈3.14。
直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。
圓的面積公式:圓。
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