立體幾何:向量外積求法向量,向量混合積求體積。
非常簡便的算法,由于這兒沒法打行列式,所以只好你自己上網(wǎng)搜一下了,算法很好記。
極限:洛必達法則求極限(求0/0型和∞/∞型的未定型極限)
lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)
比如x→0,lim sinx/x=lim cosx=1,當然不會這么難
一般為x→2,lim (x^2-3x+2)/(x-2)=lim (2x-3)=1
函數(shù):隱函數(shù)求導法則,也就是復合函數(shù)求導法則
xy=1,兩邊求導y+xy'=0,y'=-y/x=-1/x^2
數(shù)列(級數(shù)部分):
1.后項與前項比值的極限求放縮公比(詳見達朗貝爾審斂法)
比如要證明Sn/a,q趨近公比為q的等比數(shù)列,而后者是有界的,所以可以進行放縮
a=(pa+q)/(sa+t),令a=a=x,代入遞推式,x即不動點
若可以證明a在某個范圍內(nèi),則x就是a的極限。這個可以求a的精確范圍。
3.齊次線性遞推公式(差分方程)求解
這個方法非???,但是不能用于高中的計算題??梢赃M行驗證。
一般最多為二階a+pa+qa=0
構造方程x^2+px+q=0
1.兩根x1,x2,則a通解a=C1(x1)^n+C2(x2)^n
(注意x1、x2可以是復數(shù))
2.重根x0,則a通解a=(C1+C2*n)(x0)^n
C1、C2都是待定系數(shù),在通解中代入已知的兩項的值,一般是a和a就可以求出C1和C2
比如
例1:
a-a-a=0,a=a(斐波那契數(shù)列)
x^2-x-1=0,解得x1=(1+√5)/2,x2=(1-√5)/2
所以a=C1[(1+√5)/2]^n+C2[(1-√5)/2]^n
代入
a=1=C1(1+√5)/2+C2(1-√5)/2
a=1=C1[(1+√5)/2]^2+C2[(1-√5)/2]^2
即解出C1、C2
從而得出a
例2:
a-4a+4a=0,a=2,a=4
x^2-4x+4=0,重根x0=2
通解a=(C1+C2*n)2^n
a=2=(C1+C1)2
a=4=(C1+2C2)2^2
解出C1、C2,從而得到a
不等式:柯西不等式(很少涉及)有多種形式
差不多就這些了,其他的方法不易操作,而且這有些也不是競賽知識,只是一些大學數(shù)學的基礎知識。
這些方法在考試中一定要注明出處(定理名稱等),否則要扣分的。
先給一個也許也許無關的建議,不要竊悲竊喜,學會坦然。
高中數(shù)學競賽所考的有些高出中學教材的內(nèi)容應該是 數(shù)論初步,組合數(shù)學初步,還有平面幾何。包括很多在中學就學到的東西,目的在于用初等方法解決一些可能比較復雜的問題。
除了上面說的3個方面,“式的恒等代換 ”可以算是一個很重要的基本功,如果你見到有關的書,一定要挑一本去學。
競賽的宗旨很好聽,但是事實上還是要多學一些課外東西的,比如組合數(shù)學,肯定會學到容斥原理,數(shù)論就一定要學會孫子定理和小費馬定理。平面幾何也一定要多做題,甚至說多積累。
我想數(shù)學競賽題的宗旨是培養(yǎng)你的研究能力分析能力,但是我以前就過分在意這個,在意發(fā)揮自己的天份而擯棄積累。這是一個弊病,一個很大的錯誤。希望你能兼顧這兩方面。 要踏實地學習基本功,要學會積累,同時不要忘了競賽的宗旨。我想你能兼顧好這兩方面的話一定會有好成績。
希望我的意見對你有些好處。
另外針對你說的做一道題用一種方法鉆下去,我再添加幾句吧.以前我曾經(jīng)有一小段時間像你這樣,一道題會在一種方法上一直往下做,一半時候也是能做出來的,但是結果也分為兩種可能:要么繁瑣,要么回歸到一開始的時候就有簡便的方法。
花比較多的時間去做一道題,這是絕對值得肯定的,因為你在研究一道題,這符合競賽宗旨。但不要總這樣,這會陷入我所說的偏重于個人研究而擯棄了積累。即使你自己用一種方法做好了也要看別人的所有方法,并研究之。(一般看別人的方法,尤其在你做完題以后會非??欤?
另外,你的自己思維研究問題方法也需要改變.你自己也說了,你常用一種方法去鉆,這是不好的,接到一個問題想到好幾種思路,你要善于否定,盡快地在一種路上發(fā)現(xiàn)他不可行或可行,可行就繼續(xù),如果不可行,先放在一邊,除非你完全否定不然還是會考慮的.
上面說的可能有些抽象,你要有多種思路,甚至不停地產(chǎn)生新思路,不要在一條路上逼死自己,把自己的大腦"活"起來.(這客觀上還需要注意飲食的糖的補充,比如適當時候吃點水果,巧克力)
沒有什么題是你做不出來的,希望你能看完我所有的話,有所收獲.甚至能一路殺進cmo,imo.
先給一個也許也許無關的建議,不要竊悲竊喜,學會坦然。
高中數(shù)學競賽所考的有些高出中學教材的內(nèi)容應該是 數(shù)論初步,組合數(shù)學初步,還有平面幾何。包括很多在中學就學到的東西,目的在于用初等方法解決一些可能比較復雜的問題。
除了上面說的3個方面,“式的恒等代換 ”可以算是一個很重要的基本功,如果你見到有關的書,一定要挑一本去學。 競賽的宗旨很好聽,但是事實上還是要多學一些課外東西的,比如組合數(shù)學,肯定會學到容斥原理,數(shù)論就一定要學會孫子定理和小費馬定理。
平面幾何也一定要多做題,甚至說多積累。 我想數(shù)學競賽題的宗旨是培養(yǎng)你的研究能力分析能力,但是我以前就過分在意這個,在意發(fā)揮自己的天份而擯棄積累。
這是一個弊病,一個很大的錯誤。希望你能兼顧這兩方面。
要踏實地學習基本功,要學會積累,同時不要忘了競賽的宗旨。我想你能兼顧好這兩方面的話一定會有好成績。
希望我的意見對你有些好處。 另外針對你說的做一道題用一種方法鉆下去,我再添加幾句吧.以前我曾經(jīng)有一小段時間像你這樣,一道題會在一種方法上一直往下做,一半時候也是能做出來的,但是結果也分為兩種可能:要么繁瑣,要么回歸到一開始的時候就有簡便的方法。
花比較多的時間去做一道題,這是絕對值得肯定的,因為你在研究一道題,這符合競賽宗旨。但不要總這樣,這會陷入我所說的偏重于個人研究而擯棄了積累。
即使你自己用一種方法做好了也要看別人的所有方法,并研究之。(一般看別人的方法,尤其在你做完題以后會非??欤?另外,你的自己思維研究問題方法也需要改變.你自己也說了,你常用一種方法去鉆,這是不好的,接到一個問題想到好幾種思路,你要善于否定,盡快地在一種路上發(fā)現(xiàn)他不可行或可行,可行就繼續(xù),如果不可行,先放在一邊,除非你完全否定不然還是會考慮的. 上面說的可能有些抽象,你要有多種思路,甚至不停地產(chǎn)生新思路,不要在一條路上逼死自己,把自己的大腦"活"起來.(這客觀上還需要注意飲食的糖的補充,比如適當時候吃點水果,巧克力) 沒有什么題是你做不出來的,希望你能看完我所有的話,有所收獲.甚至能一路殺進cmo,imo。
取得數(shù)學聯(lián)賽及CMO名次可獲得不同學校的直接降分及自招資格。具體參加哪科競賽要看自己的興趣。在對競賽感興趣且學有余力的情況下,學習競賽才可能成功。
數(shù)學競賽賽制分為預賽,復賽(聯(lián)賽),決賽。
預賽的時間在6月份,全國在校高中生均可報名參加,考試形式為筆試,試題難度略高于高考。數(shù)學競賽預選賽在各地學校舉行,通過預賽并拿到一定名次的同學可晉級參加復賽。預賽只是挑選有資格參加復賽的考生,不產(chǎn)生任何獎項,對于自主招生沒有實質性作用。通過預賽的同學在9月初可以參加聯(lián)賽,聯(lián)賽的難度大于預賽。
在聯(lián)賽過后,各省劃線按排名獲得一二三等獎(即省一、省二、省三),可以獲得自主招生資格。一等獎中靠前同學獲得省隊資格,代表所在省參加CMO比賽,CMO是全國性比賽,統(tǒng)一閱卷按排名 獲得金銀銅牌,金牌前60名左右進入國家集訓隊,集訓隊多次考試選拔后,有6人會入選國家隊參加國際數(shù)學奧林匹克競賽(IMO),IMO同樣是按分數(shù)高低排出金銀銅牌,比例為1:2:3。
全國高中數(shù)學聯(lián)賽的比賽規(guī)則:
在“普及的基礎上不斷提高”的方針指引下,全國數(shù)學競賽活動方興未艾,特別是連續(xù)幾年我國選手在國際數(shù)學奧林匹克中取得了可喜的成績,使廣大中小學師生和數(shù)學工作者為之振奮,熱忱不斷高漲,數(shù)學競賽活動進入了一個新的階段。
為了使全國數(shù)學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展,應廣大中學師生和各級數(shù)學奧林匹克教練員的要求,特制定《數(shù)學競賽大綱》以適應當前形勢的需要。
本大綱是在國家教委制定的全日制中學“數(shù)學教學大綱”的精神和基礎上制定的?!督虒W大綱》在教學目的一欄中指出:“要培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣,激勵學生為實現(xiàn)四個現(xiàn)代化學好數(shù)學的積極性?!?/p>
具體作法是:“對學有余力的學生,要通過課外活動或開設選修課等多種方式,充分發(fā)展他們的數(shù)學才能”,“要重視能力的培養(yǎng)……,著重培養(yǎng)學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力,要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。
同時,要重視培養(yǎng)學生的獨立思考和自學的能力”?!督虒W大綱》中所列出的內(nèi)容,是教學的要求,也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內(nèi)容的理解程度與靈活運用能力,特別是方法與技巧掌握的熟練程度,有更高的要求。而“課堂教學為主,課外活動為輔”是必須遵循的原則。
因此,本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學生的實際情況,分階段、分層次讓學生逐步地去掌握,并且要貫徹“少而精”的原則,這樣才能加強基礎,不斷提高。
擴展資料:
知識范圍
全國高中數(shù)學聯(lián)賽(加試)在知識方面有所擴展,適當增加一些教學大綱之外的內(nèi)容,所增加內(nèi)容是:
1.平面幾何
西姆松定理;
三角形旁心、費馬點、歐拉線;
幾何不等式;
幾何極值問題;
幾何中的變換:對稱、平移、旋轉;
圓的冪和根軸
面積方法,復數(shù)方法,向量方法,解析幾何方法。
2.代數(shù)
周期函數(shù),帶絕對值的函數(shù)
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函數(shù)
遞歸,遞歸數(shù)列及其性質,一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項公式;
第二數(shù)學歸納法;
均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函數(shù)及其應用;
復數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式,歐拉公式,棣莫弗定理,單位根;
多項式的除法定理、因式分解定理,多項式的相等,整系數(shù)多項式的有理根*,多項式的插值公式*;
n次多項式根的個數(shù),根與系數(shù)的關系,實系數(shù)多項式虛根成對定理;
函數(shù)迭代,求n次迭代*,簡單的函數(shù)方程*。
3.初等數(shù)論
同余,歐幾里得除法,裴蜀定理,完全剩余系,不定方程和方程組,高斯函數(shù)[x],費馬小定理,格點及其性質,無窮遞降法*,歐拉定理*,孫子定理*。
4.組合問題
圓排列,有重復元素的排列與組合,組合恒等式;
組合計數(shù),組合幾何;
抽屜原理;
容斥原理;
極端原理;
圖論問題;
集合的劃分;
覆蓋;
平面凸集、凸包及應用*。
有*號的內(nèi)容加試中暫不考,但在冬令營中可能考。
參考資料:搜狗百科--全國高中數(shù)學聯(lián)賽
搜的--- 《教學大綱》中所列出的內(nèi)容,是教學的要求,也是競賽的最低要求。
在競賽中對同樣的知識內(nèi)容的理解程度與靈活運用能力,特別是方法與技巧掌握的熟練程度,有更高的要求。而“課堂教學為主,課外活動為輔”是必須遵循的原則。
因此,本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學生的實際情況,分階段、分層次讓學生逐步地去掌握,并且要貫徹“少而精”的原則,這樣才能加強基礎,不斷提高。 一試 全國高中數(shù)學聯(lián)賽的一試競賽大綱,完全按照全日制中學《數(shù)學教學大綱》中所規(guī)定的教學要求和內(nèi)容,即高考所規(guī)定的知識范圍和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微積分初步不考。
二試 1、平面幾何 基本要求:掌握初中數(shù)學競賽大綱所確定的所有內(nèi)容。 補充要求:面積和面積方法。
幾個重要定理:梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 幾個重要的極值:到三角形三頂點距離之和最小的點--費馬點。
到三角形三頂點距離的平方和最小的點--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點--重心。
幾何不等式。 簡單的等周問題。
了解下述定理: 在周長一定的n邊形的集合中,正n邊形的面積最大。 在周長一定的簡單閉曲線的集合中,圓的面積最大。
在面積一定的n邊形的集合中,正n邊形的周長最小。 在面積一定的簡單閉曲線的集合中,圓的周長最小。
幾何中的運動:反射、平移、旋轉。 復數(shù)方法、向量方法。
平面凸集、凸包及應用。 2、代數(shù) 在一試大綱的基礎上另外要求的內(nèi)容: 周期函數(shù)與周期,帶絕對值的函數(shù)的圖像。
三倍角公式,三角形的一些簡單的恒等式,三角不等式。 第二數(shù)學歸納法。
遞歸,一階、二階遞歸,特征方程法。 函數(shù)迭代,求n次迭代,簡單的函數(shù)方程。
n個變元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及應用。 復數(shù)的指數(shù)形式,歐拉公式,棣莫佛定理,單位根,單位根的應用。
圓排列,有重復的排列與組合,簡單的組合恒等式。 一元n次方程(多項式)根的個數(shù),根與系數(shù)的關系,實系數(shù)方程虛根成對定理。
簡單的初等數(shù)論問題,除初中大綱中所包括的內(nèi)容外,還應包括無窮遞降法,同余,歐幾里得除法,非負最小完全剩余類,高斯函數(shù),費馬小定理,歐拉函數(shù),孫子定理,格點及其性質。 3、立體幾何 多面角,多面角的性質。
三面角、直三面角的基本性質。 正多面體,歐拉定理。
體積證法。 截面,會作截面、表面展開圖。
4、平面解析幾何 直線的法線式,直線的極坐標方程,直線束及其應用。 二元一次不等式表示的區(qū)域。
三角形的面積公式。 圓錐曲線的切線和法線。
圓的冪和根軸。 5、其它 抽屜原理。
容斤原理。 極端原理。
集合的劃分。 覆蓋。
梅涅勞斯定理 梅涅勞斯(Menelaus)定理是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。它指出:如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點,那么(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1。
證明: 過點A作AG∥BC交DF的延長線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得:AF/FB*BD/DC*CE/EA=AG/BD*BD/DC*DC/AG=1 它的逆定理也成立:若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上,且滿足(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1,則F、D、E三點共線。
利用這個逆定理,可以判斷三點共線。 另外,有很多人會覺得書寫這個公式十分煩瑣,不看書根本記不住,下面從別人轉來一些方法幫助書寫 為了說明問題,并給大家一個深刻印象,我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點,各景點之間有公路相連。
我們乘直升機飛到這些景點的上空,然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩,最后回到出發(fā)點,直升機就停在那里等待我們回去。
我們不必考慮怎樣走路程最短,只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點,不能算是“游歷”。
例如直升機降落在A點,我們從A點出發(fā),“游歷”了其它五個字母所代表的景點后,最終還要回到出發(fā)點A。 另外還有一個要求,就是同一直線上的三個景點,必須連續(xù)游過之后,才能變更到其它直線上的景點。
從A點出發(fā)的旅游方案共有四種,下面逐一說明: 方案 ① ——從A經(jīng)過B(不停留)到F(停留),再返回B(停留),再到D(停留),之后經(jīng)過B(不停留)到C(停留),再到E(停留),最后從E經(jīng)過C(不停留)回到出發(fā)點A。 按照這個方案,可以寫出關系式: (AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA)=1。
現(xiàn)在,您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從A點出發(fā)的旅游方案還有: 方案 ② ——可以簡記為:A→B→F→D→E→C→A,由此可寫出以下公式: (AB:BF)*(FD:DE)*(EC:CA)=1。
從A出發(fā)還可以向“C”方向走,于是有: 方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A,由此可寫出公式: (AC:CE)*(ED:DF)*(FB:BA)=1。 從A出發(fā)還有最后一個方案: 方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A,由此寫出公式: (AE:EC)*(CD:DB)*(BF:FA)=1。
我們的直升機還可以選擇在B、C、D、。
真正的數(shù)學競賽老師不會來百度知道的!聯(lián)賽分兩卷,第一卷難度稍高于高考,考初中和高中知識,偏重于能力和思維角度,知識點你是大都學過的,你現(xiàn)在就是要復習競賽都考些什么,基本的知識點書上都有,建議你買那種分類講解的競賽書,比如整除、幾何、方程、組合題等等。如果你平時成績還好的話,第一卷100應該不成問題。第二卷那3個大題很難,跟高中知識其實聯(lián)系不大,做不出來很正常,如果能做出一個兩個,聯(lián)賽基本有戲了,只能這么說??炻?lián)賽了吧,建議你做幾套樣題和往年的題目,記住要耐心,不要輕言放棄。
其實和大學教材沒什么聯(lián)系。微積分,線性代數(shù),都不考的哈。建議你買專門的競賽輔導書看。有一份很不錯的知識點:
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