拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:y方= 2px (這個(gè)是焦點(diǎn)在x軸上的方程)
當(dāng)p>0 時(shí) 開(kāi)口向右 焦點(diǎn)坐標(biāo) (p/2,0) 準(zhǔn)線方程x=-p/2
p<0時(shí) 開(kāi)口向左 焦點(diǎn)坐標(biāo) (-p/2,0) 準(zhǔn)線方程x=p/2
x方= 2py(這個(gè)是焦點(diǎn)在y 軸上的方程)
當(dāng)p>0 時(shí) 開(kāi)口向上 焦點(diǎn)坐標(biāo) (0,p/2) 準(zhǔn)線方程y=-p/2
p<0 時(shí) 開(kāi)口向下 焦點(diǎn)坐標(biāo) (0,-p/2) 準(zhǔn)線方程y=p/2
[編輯本段]1、定義 平面內(nèi),到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡(或集合)稱之為拋物線。
另外,F(xiàn)稱為"拋物線的焦點(diǎn)",l稱為"拋物線的準(zhǔn)線"。 定義焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為"焦準(zhǔn)距",用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€(gè)圓錐,可得一個(gè)圓,如果傾斜這個(gè)平面直至與其一邊平行,就可以做一條拋物線。
[編輯本段]2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 右開(kāi)口拋物線:y^2=2px 左開(kāi)口拋物線:y^2=-2px 上開(kāi)口拋物線:y=x^2/2p 下開(kāi)口拋物線:y=-x^2/2p [編輯本段]3.拋物線相關(guān)參數(shù)(對(duì)于向右開(kāi)口的拋物線) 離心率:e=1 焦點(diǎn):(p/2,0) 準(zhǔn)線方程l:x=-p/2 頂點(diǎn):(0,0) 通徑(定義:圓錐曲線(除圓外)中,過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦):2P [編輯本段]4.它的解析式求法: 知道P 帶入一點(diǎn) [編輯本段]5.拋物線的光學(xué)性質(zhì): 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對(duì)稱軸.[編輯本段]6、其他 拋物線:y = ax^2 + bx + c (a=/0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時(shí)開(kāi)口向上 a < 0時(shí)開(kāi)口向下 c = 0時(shí)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) b = 0時(shí)拋物線對(duì)稱軸為y軸 還有頂點(diǎn)式y(tǒng) = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以(x-h)的平方+k h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y 標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線在x0,y0點(diǎn)的切線就是 :yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值與最小值 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程:y^2=2px 它表示拋物線的焦點(diǎn)在x的正半軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p/2,0) 準(zhǔn)線方程為x=-p/2 由于拋物線的焦點(diǎn)可在任意半軸,故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py [編輯本段]7.用拋物線的對(duì)稱性解題 我們知道,拋物線y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱軸是直線x = - b/ 2a ,它的頂點(diǎn)在對(duì)稱軸上。解決有關(guān)拋物線的問(wèn)題時(shí),若能巧用拋物線的對(duì)稱性,則常可以給出簡(jiǎn)捷的解法。
例1 已知拋物線的對(duì)稱軸是x =1,拋物線與y軸交于點(diǎn)(0,3),與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4,求此拋物線的解析式。 分析 設(shè)拋物線的解析式為y = ax2 + bx + c 。
若按常規(guī)解法,則需要解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,變形過(guò)程比較繁雜;若巧用拋物線的對(duì)稱性,解法就簡(jiǎn)捷了。因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x =1,與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4,由拋物線的對(duì)稱性可知,它與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)。
于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+1)(x-3)。又因?yàn)閽佄锞€與y軸交于點(diǎn)(0,3),所以3 = -3a。
故a =-1。 ∴y = -(x+1)(x-3),即 y = - x2 + 2x +3。
例2 已知拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,2)、B(3,2)兩點(diǎn),其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,求當(dāng)x =0時(shí)y的值。 分析 要求當(dāng)x =0時(shí)y的值,只要求出拋物線的解析式即可。
由拋物線的對(duì)稱性可知,A(-1,2)、B(3,2)兩點(diǎn)是拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)。由此可知,拋物線的對(duì)稱軸是x = 1。
故拋物線的頂點(diǎn)是(1,6)。于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x-1)2+ 6。
因?yàn)辄c(diǎn)(-1,2)在拋物線上,所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 6,即 y = - x2 + 2x +5。 ∴當(dāng)x =0時(shí),y = 5。
例3 已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)A、B間的距離為4,與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為(-1,4),求△ABC的面積。 分析 要求△ABC的面積,只要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可。
為此,需求出拋物線的解析式。由題設(shè)可知,拋物線的對(duì)稱軸是x = -1。
由拋物線的對(duì)稱性可知,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(1,0)。故可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。
∵點(diǎn)(1,0)在拋物線上, ∴4a + 4 = 0。∴a = -1。
∴y = -(x+1)2+ 4,即 y = - x2 - 2x +3。 ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)。
∴S△ABC = 1/2*(4*3)= 6。 例4 已知拋物線y = ax2 + bx + c的頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4,與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于C、D兩點(diǎn),且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的兩個(gè)根,求四邊形ABCD的面積。
分析 要求四邊形ABCD的面積,求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可。為此,要求出拋物線的解析式。
由題設(shè)可知,C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,0)。由拋物線的對(duì)稱性可知,拋物線的對(duì)稱軸是x = 1。
故頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,4)。從而可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。
∵點(diǎn)(-1,0)在拋物線上, ∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 4,即 y = - x2 + 2x +3。 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3)。
連結(jié)OA ,則S四邊形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2*1*3+1/2*3*1+1/2*3*4=9 [編輯本段]8.關(guān)于拋物線的相關(guān)結(jié)論 過(guò)拋物線y^2=2px(p>0)焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線L,L與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦點(diǎn)弦長(zhǎng):|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P。
1、定義 平面內(nèi),到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡(或集合)稱之為拋物線。
另外,F(xiàn)稱為"拋物線的焦點(diǎn)",l稱為"拋物線的準(zhǔn)線"。 定義焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為"焦準(zhǔn)距",用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€(gè)圓錐,可得一個(gè)圓,如果傾斜這個(gè)平面直至與其一邊平行,就可以做一條拋物線。
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 右開(kāi)口拋物線:y^2=2px 左開(kāi)口拋物線:y^2=-2px 上開(kāi)口拋物線:y=x^2/2p 下開(kāi)口拋物線:y=-x^2/2p3.拋物線相關(guān)參數(shù)(對(duì)于向右開(kāi)口的拋物線) 離心率:e=1 焦點(diǎn):(p/2,0) 準(zhǔn)線方程l:x=-p/2 頂點(diǎn):(0,0) 通徑(定義:圓錐曲線(除圓外)中,過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦):2P4.它的解析式求法: 知道P 帶入一點(diǎn)5.拋物線的光學(xué)性質(zhì): 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對(duì)稱軸.6、其他 拋物線:y = ax^2 + bx + c (a=/0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時(shí)開(kāi)口向上 a < 0時(shí)開(kāi)口向下 c = 0時(shí)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) b = 0時(shí)拋物線對(duì)稱軸為y軸 還有頂點(diǎn)式y(tǒng) = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以(x-h)的平方+k h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y 標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線在x0,y0點(diǎn)的切線就是 :yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值與最小值 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程:y^2=2px 它表示拋物線的焦點(diǎn)在x的正半軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p/2,0) 準(zhǔn)線方程為x=-p/2 由于拋物線的焦點(diǎn)可在任意半軸,故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py7.用拋物線的對(duì)稱性解題 我們知道,拋物線y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱軸是直線x = - b/ 2a ,它的頂點(diǎn)在對(duì)稱軸上。解決有關(guān)拋物線的問(wèn)題時(shí),若能巧用拋物線的對(duì)稱性,則??梢越o出簡(jiǎn)捷的解法。
例1 已知拋物線的對(duì)稱軸是x =1,拋物線與y軸交于點(diǎn)(0,3),與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4,求此拋物線的解析式。 分析 設(shè)拋物線的解析式為y = ax2 + bx + c 。
若按常規(guī)解法,則需要解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,變形過(guò)程比較繁雜;若巧用拋物線的對(duì)稱性,解法就簡(jiǎn)捷了。因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x =1,與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4,由拋物線的對(duì)稱性可知,它與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)。
于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+1)(x-3)。又因?yàn)閽佄锞€與y軸交于點(diǎn)(0,3),所以3 = -3a。
故a =-1。 ∴y = -(x+1)(x-3),即 y = - x2 + 2x +3。
例2 已知拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,2)、B(3,2)兩點(diǎn),其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,求當(dāng)x =0時(shí)y的值。 分析 要求當(dāng)x =0時(shí)y的值,只要求出拋物線的解析式即可。
由拋物線的對(duì)稱性可知,A(-1,2)、B(3,2)兩點(diǎn)是拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)。由此可知,拋物線的對(duì)稱軸是x = 1。
故拋物線的頂點(diǎn)是(1,6)。于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x-1)2+ 6。
因?yàn)辄c(diǎn)(-1,2)在拋物線上,所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 6,即 y = - x2 + 2x +5。 ∴當(dāng)x =0時(shí),y = 5。
例3 已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)A、B間的距離為4,與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為(-1,4),求△ABC的面積。 分析 要求△ABC的面積,只要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可。
為此,需求出拋物線的解析式。由題設(shè)可知,拋物線的對(duì)稱軸是x = -1。
由拋物線的對(duì)稱性可知,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(1,0)。故可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。
∵點(diǎn)(1,0)在拋物線上, ∴4a + 4 = 0。∴a = -1。
∴y = -(x+1)2+ 4,即 y = - x2 - 2x +3。 ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)。
∴S△ABC = 1/2*(4*3)= 6。 例4 已知拋物線y = ax2 + bx + c的頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4,與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于C、D兩點(diǎn),且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的兩個(gè)根,求四邊形ABCD的面積。
分析 要求四邊形ABCD的面積,求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可。為此,要求出拋物線的解析式。
由題設(shè)可知,C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,0)。由拋物線的對(duì)稱性可知,拋物線的對(duì)稱軸是x = 1。
故頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,4)。從而可設(shè)拋物線的解析式為y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。
∵點(diǎn)(-1,0)在拋物線上, ∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 4,即 y = - x2 + 2x +3。 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3)。
連結(jié)OA ,則S四邊形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2*1*3+1/2*3*1+1/2*3*4=98.關(guān)于拋物線的相關(guān)結(jié)論 過(guò)拋物線y^2=2px(p>0)焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線L,L與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦點(diǎn)弦長(zhǎng):|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P。
平面內(nèi),到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡(或集合)稱之為拋物線。
另外,F(xiàn)稱為"拋物線的焦點(diǎn)",l稱為"拋物線的準(zhǔn)線"。 定義焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為"焦準(zhǔn)距",用p表示.p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€(gè)圓錐,可得一個(gè)圓,如果傾斜這個(gè)平面直至與其一邊平行,就可以做一條拋物線。
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 右開(kāi)口拋物線:y^2=2px 左開(kāi)口拋物線:y^2=-2px 上開(kāi)口拋物線:y=x^2/2p 下開(kāi)口拋物線:y=-x^2/2p 3.拋物線相關(guān)參數(shù)(對(duì)于向右開(kāi)口的拋物線) 離心率:e=1 焦點(diǎn):(p/2,0) 準(zhǔn)線方程l:x=-p/2 頂點(diǎn):(0,0) 4.它的解析式求法:三點(diǎn)代入法 5.拋物線的光學(xué)性質(zhì):經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對(duì)稱軸. 拋物線:y = ax* + bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時(shí)開(kāi)口向上 a。
拋物線知識(shí)點(diǎn)回顧 拋物線是指平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))和一條定直線l(準(zhǔn)線)距離相等的點(diǎn)的軌跡。
它有許多表示方法,比如參數(shù)表示,標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等。 它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處。
拋物線也是圓錐曲線的一種,即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標(biāo)變換下,也可看成二次函數(shù)圖像。
A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在拋物線y2=2px上,則有: ① x1x2 = p2/4 , y1y2 = -p2 (要在直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)才能成立); (當(dāng)A,B在拋物線x2=2py上時(shí),則有x1x2 = -p2 , y1y2 = p2/4 , 要在直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)才能成立) ② 焦點(diǎn)弦長(zhǎng):|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)2]; ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P; ④若OA垂直O(jiān)B則AB過(guò)定點(diǎn)M(2P,0); ⑤焦半徑:|FP|=x+p/2 (拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于P到準(zhǔn)線L的距離); ⑥弦長(zhǎng)公式:AB=√(1+k2)*│x1-x2│; ⑦△=b2-4ac; ⑧由拋物線焦點(diǎn)到其切線的垂線距離,是焦點(diǎn)到切點(diǎn)的距離,與到頂點(diǎn)距離的比例中項(xiàng); ⑨標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線在(x0,y0 )點(diǎn)的切線是:yy0=p(x+x0) (注:圓錐曲線切線方程中x2=x*x0 , y2 =y*y0 , x=(x+x0)/2 , y=(y+y0)/2 ) ⑴△=b2-4ac>0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根; ⑵△=b2-4ac=0有兩個(gè)一樣的實(shí)數(shù)根; ⑶△=b2-4ac<0沒(méi)實(shí)數(shù)根。 來(lái)做做練習(xí)檢測(cè)一下這些知識(shí)點(diǎn)你都記住了嗎?武漢九年級(jí)數(shù)學(xué)函數(shù)觀點(diǎn)看二元一次方程之課外提高模擬題集/questionRes/1853871/。
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