反函數(shù)教學視(反函數(shù)知識有哪些)
1.反函數(shù)知識有哪些
一般地，如果x與y關于某種對應關系f(x)相對應，y=f(x)。
則y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x)。 存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對應的（不一定是整個數(shù)域內的） 【反函數(shù)的性質】 （1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱； （2）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)在它的定義域上是單調的； （3）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應區(qū)間上單調性一致； （4）偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。
若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。 （5）一切隱函數(shù)具有反函數(shù)； （6）一段連續(xù)的函數(shù)的單調性在對應區(qū)間內具有一致性； （7）嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】。
（8）反函數(shù)是相互的 （9）定義域、值域相反對應法則互逆 （10）不是所有函數(shù)都有反函數(shù)如y=x的偶次方 例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x 例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù) 解：y=3x-2的定義域為R，值域為R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換，則所求y=3x-2的反函數(shù)是 y=1/3(x+2)。
2.怎樣畫反函數(shù)圖像和求反函
在教學過程中可以引導學生仿照正比例函數(shù)圖象的的畫法。
（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值。 強調注意： ① x≠0 ②列表時自變量取值易于計算，易于描點。
（2）描點。以表中對應值為坐標，在平面直角坐標系內描出相應的點。
連線。 按照自變量由小到大的順序，把所描的點用平滑的曲線連接起來。
（4）觀察圖象與一次函數(shù)的圖象作對比。 總結作反比例函數(shù)圖象注意的問題。
（1）。列表時，選取的自變量的值，既要易于計算，又要便于描點，盡量多取一些數(shù)值（取互為相反數(shù)的一對一對的數(shù)），多描一些點，這樣既可以方便連線，又可以使圖象精確。
（2）。描點時要嚴格按照表中所列的對應值描點，絕對不能把點的位置描錯。
（3）。一定要養(yǎng)成按自變量從小到大的順序依次畫線，連線時必須用光滑的曲線連接各點，不能用折線連接。
（4）。圖像是延伸的，注意不要畫成有明確端點。
（5）。曲線的發(fā)展趨勢只能靠近坐標軸，但不能和坐標軸相交。
3.常見反函數(shù)
x=f?1（y） 。
一般來說，設函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y) 。反函數(shù)x=f -1(y)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。
最具有代表性的反函數(shù)就是對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。一般地，如果x與y關于某種對應關系f(x)相對應，y=f(x)，則y=f(x)的反函數(shù)為x=f-1(y)。
存在反函數(shù)（默認為單值函數(shù)）的條件是原函數(shù)必須是一一對應的（不一定是整個數(shù)域內的）。注意：上標"?1"指的是函數(shù)冪，但不是指數(shù)冪。
4.關于反函數(shù)
反函數(shù)定義 一般地，設函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數(shù)中x,y 的關系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x= f(y),x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x= f(y)就表示y是自變量，x是因變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= f(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作y=f^-1(x). 反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. [編輯本段]反函數(shù)性質 （1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱； （2）函數(shù)存在反函數(shù)的必要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射； （3）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應區(qū)間上單調性一致； （4）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（唯一有反函數(shù)的偶函數(shù)是f(x)=a,x∈{0}）。
奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數(shù)。
若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。 （5）一切隱函數(shù)具有反函數(shù)； （6）一段連續(xù)的函數(shù)的單調性在對應區(qū)間內具有一致性； （7）嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】。
（8）反函數(shù)是相互的 （9）定義域、值域相反對應法則互逆（三反） （10）原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定（三定） 例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x 例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù) 解：y=3x-2的定義域為R，值域為R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換，則所求y=3x-2的反函數(shù)是 y=1/3(x+2)(x屬于R) (11)反函數(shù)的導數(shù)關系：如果X=F(X)在區(qū)間I上單調，可導，且F'(Y)不等于0，那么他的反函數(shù)Y=F'(X)在區(qū)間S={X|X=F(Y),Y屬于I }內也可導，且[F'(X)]'=1\F'(Y)。 [編輯本段]反函數(shù)說明 ⑴在函數(shù)x=f'(y)中，y是自變量，x是函數(shù)，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對調函數(shù)x=f'(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f'(x)，今后凡無特別說明，函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經過改寫的形式。
⑵反函數(shù)也是函數(shù)，因為它符合函數(shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對于任意一個函數(shù)y=f(x)來說，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f'(x)，那么函數(shù)y=f'(x)的反函數(shù)就是y=f(x)，這就是說，函數(shù)y=f(x)與y=f'(x)互為反函數(shù)。 ⑶從映射的定義可知，函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f'(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f'(x)的值域；函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f'(x)的定義域（如下表）： 函數(shù)：y=f(x) 反函數(shù)：y=f'(x) 定義域： A C 值域： C A ⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為： 若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)x=f'(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)x=f'(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. 開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt，則它的反函數(shù)就可以寫為f'(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數(shù)為：f'(x)=x/2-3. 有時是反函數(shù)需要進行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進行分類討論：在X大于0時的情況，X小于0的情況，多是要注意的。
一般分數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a [編輯本段]反函數(shù)應用 直接求原函數(shù)的值域困難時，可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域，求反函數(shù)的步驟是這樣的： 1、先求出反函數(shù)的定義域，因為原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域； （我們知道函數(shù)的三要素是定義域、值域、對應法則，所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步） 2、反解x，也就是用y來表示x; 3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x; 4、寫出原函數(shù)及其值域。 實例：y=2x+1（值域：任意實數(shù)） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2(x取任意實數(shù)) 特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個反比例函數(shù)，它的反函數(shù)都是它本身。
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5.急需反三角函數(shù)的知識
反三角函數(shù)就是三角函數(shù)的反函數(shù)。
公式：反三角函數(shù)和三角函數(shù)關系計算公式Secant（正割） Sec(X)=1/Cos(X) Cosecant（余割） Cosec(X) =1/Sin(X) Cotangent（余切） Cotan(X) =1/Tan(X) Inverse Sine（反正弦） Arcsin(X) = Atn(X / Sqr(-X * X + 1)) Inverse Secant（反正割）Arcsec(X)=Atn(X/Sqr(X* X-1))+Sgn((X)- 1) * (2 * Atn(1)) Inverse Cosecant（反余割） Arccosec(X) =Atn(X/Sqr(X*X-1))+(Sgn(X)- 1)*(2*Atn(1)) Inverse Cotangent（反余切） Arccotan(X)=Atn(X)+2*Atn(1)。
