初中銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)題(關(guān)于初中數(shù)學(xué)的二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)的重點(diǎn)難點(diǎn))
1.關(guān)于初中數(shù)學(xué)的二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)的重點(diǎn)難點(diǎn)
初中數(shù)學(xué)的二次函數(shù)
初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：
解直角三角形，解直角三角形的知識(shí)是近幾年各地中考命題的熱點(diǎn)之一，考察題型為選擇題，填空題，應(yīng)用題為主，分值一般8-12分，難易度為難。考察內(nèi)容：①常見銳角的三角函數(shù)值的計(jì)算，②根據(jù)圖形計(jì)算距離，高度，角度的應(yīng)用題，③根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識(shí)解決問題。突破方法：掌握三角函數(shù)的概念，會(huì)熟練運(yùn)用特殊三角函數(shù)值，②了解某些問題中的仰角，俯角，坡度等概念，③將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型④涉及解斜三角形的問題時(shí)，會(huì)通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，使之轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算問題而達(dá)到解決實(shí)際問題。⑤解應(yīng)用題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題畫出是示意圖，弄清圖中各個(gè)量的具體意義及各已知量和未知量的關(guān)系。通過大量練習(xí)，熟練建模。
2.初三三角函數(shù)練習(xí)題
1.在△ABC中，AB=AC=10,BC=16，則tanB=3/4______。
2.在RT△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=15.
(1)AB的長(zhǎng)=√369=19.2。
(2)sinA=15/19.2、cosA=12/19.2。
(3)sin2A+cos2A=1
(4)sinA=cosB
3.已知銳角α滿足tanα=5/12，求sinα和cosα的值。
tanα=sinα/cosα=5/12,12sinα=5cosα
144sin^2α=25cos^2α=25-25sin^2α
sin^2α=25/169
sinα=5/13 , cosα=12/13
4.已知2+√3是方程x2-5xsinθ+1=0的一個(gè)根，求sinθ和cosθ。
7+4√3-(10+5√3)sinθ+1=0
sinθ=（8+4√3）/(10+5√3)=4/5
cosθ=3/5
5.已知公式sin（α+β）=sinαcosβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，計(jì)算sin75°和cos75°的值。
sin75°=（√2+√6）/4
cos75°=（√6-√2）/4
6.已知sinα=2m-3，且α為銳角，求m的取值范圍
2m-3≤1 ,m≤2
3.初三銳角三角函數(shù)公式
1.1 正弦和余弦 例1 已知0°≤α≤90°.（1）求證：sin2α+cos2α=1; (2)求證：sinα+cosα≥1，討論在什么情形下等號(hào)成立； （3）已知sinα+cosα=1，求sin3α+cos3α的值. 證明 （1）如圖6-1，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，sinα=BC/AB,cosα=AC/AB，所以在這種情形下 當(dāng)α=0°時(shí)，sinα=0,cosα=1；當(dāng)α=90°，sinα=1,cosα=0.所以在這兩種情形下仍有 sin2α+cos2α=1. (2)如圖6-1，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，sinα=BC/AB,cosα=AC/AB.所以在這種情形下 當(dāng)α=0°時(shí)，sinα+cosα=0+1=1；當(dāng)α=90°時(shí)，sinα+cosα=1+0=1.所以當(dāng)0°≤α≤90°時(shí)，總有 sinα+cosα≥1， 當(dāng)并且只當(dāng)α=0°或α=90°時(shí)，等號(hào)成立. （3）由于已知sina+cosα=1.由（2）可知α=0°或α=90°，所以總有 sin3α+cos3α=1. 例2 求證：對(duì)于0°≤α≤90°， 證法一 如圖6-1，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.由銳角三角函數(shù) 當(dāng)α=0°或α=90°時(shí)，容易驗(yàn)證以上等式仍成立. 證法二 點(diǎn)評(píng) 證法一是根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義；證法二用了公式sin2α+cos2α=1. 證明一個(gè)三角恒等式成立，可變換等號(hào)左（右）端的式子，如得到等號(hào)右（左）端的式子，原恒等式就被證明了.一般對(duì)較復(fù)雜的式子進(jìn)行變換，也可以對(duì)等號(hào)左，右的式子都進(jìn)行變換，如得到相同的式子，原恒等式就被證明了. 1.2 正切和余切 證明 （1）當(dāng)0°<α<90°時(shí)，如圖6-2， 當(dāng)α=0°時(shí)，tgα=0,sinα=0,cosα=1.所以仍有tgα= （2）α必須滿足不等式： 0°<α<90°. 如圖6-2， 所以tgα·ctgα=1. 例2 已知銳角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一個(gè)根，求 解法一 x2-2x-3=0的兩根為3和-1.這里只能是tgα=3. 如圖6-3，由于tgα=3.因此可設(shè)BC=3,AC=1，從而 解法二 tgα=3，用cos2α除原式分子，分母，得 證法一 如圖6-2，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c，則 所以原式成立. 證法二 等式的左端 點(diǎn)評(píng) 這里α≠0°，90°. 怎樣理解銳角三角函數(shù)的概念 答：現(xiàn)行初中幾何課本中給出銳角三角函數(shù)的定義，是依據(jù)這樣一個(gè)基本事實(shí)：在直角三角形中，當(dāng)銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊，鄰邊與斜邊的比值是一個(gè)固定的值. 關(guān)于這點(diǎn)，我們看圖1，圖中的直角三角形AB1C1,AB2C2,AB3C3，…都有一個(gè)相等的銳角A，即銳角A取一個(gè)固定值.如圖所示，許許多多直角三角形中相等的那個(gè)銳角疊合在一起，并使一條直角邊落在同一條直線上，那么斜邊必然都落在另一條直線上.不難看出， B1C1‖B2C2‖B3C3‖…， ∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…， 因此，在這些直角三角形中，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)固定的值. 根據(jù)同樣道理，由"相似形"知識(shí)可以知道，在這些直角三角形中，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值，∠A的鄰邊與斜邊的比值都分別是某個(gè)固定的值. 這樣在△ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA；銳角A鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA；銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tgA；銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作ctgA，于是我們得到銳角A的四個(gè)銳角三角函數(shù)，即 深刻理解銳角三角函數(shù)定義，要注意以下幾點(diǎn)： （1）角A的銳角三角函數(shù)值與三角形的大小，即邊的長(zhǎng)短無關(guān). 只要角A一旦確定，四個(gè)比值就隨之而定；角A變化時(shí).四個(gè)比值對(duì)應(yīng)變化.這正體現(xiàn)了函數(shù)的特點(diǎn)，銳角三角函數(shù)也是一種函數(shù)，這里角A是自變量，對(duì)于每一個(gè)確定的角A，上面四個(gè)比值都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此，銳角三角函數(shù)是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù). （2）準(zhǔn)確理解銳角三角函數(shù)定義，要熟記每個(gè)銳角三角函數(shù)是怎樣規(guī)定的，是角的哪條邊與哪條邊的比；在具體應(yīng)用定義時(shí)，要注意分清圖形中，哪條邊是角的對(duì)邊，哪條邊是角的鄰邊，哪條邊是斜邊. [例] 求出圖2中sinD,tgE的值. （3）"sinA"等是一個(gè)完整的符號(hào). 整的符號(hào)，不能看成sin與A的乘積.離開角A的"sin"沒有什么意義，其他三個(gè)cosA,tgA,ctgA等也是這樣.所以寫時(shí)不能把"sin"與"A"分開. 銳角三角函數(shù)定義把形與數(shù)結(jié)合起來，從事物的相互聯(lián)系去觀察，對(duì)直角三角形不是孤立地看它的角，它的邊，而是抓住了它們之間的聯(lián)系，從而為深入研究問題打開了思路，奠定了基礎(chǔ).從定義的導(dǎo)出過程不難看出，銳角三角函數(shù)是數(shù)（比值）和形（角A）完美結(jié)合的結(jié)果，同學(xué)們應(yīng)該在學(xué)習(xí)中很好地體會(huì)和掌握這種研究問題的思想方法. 計(jì)算 解答題 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA是方程5x2 -14x+8=0的一個(gè)根，求sinA,tgA. 4. q為三角形的一個(gè)角，如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求tgq. 答案 3. 解：∵sinA是方程5x2-14x+8=0的一個(gè)根 則5sin2A-14sinA+8=0 4. 解：∵100cos2q-40(4-3cosq)=0 即5cos2q+6cosq-8=0。
