分數(shù)、百分數(shù)的知識,在日常生活和生產(chǎn)建設(shè)中有著廣泛的應(yīng)用,也是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容。如何改進并加強分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題教學(xué),使它們能夠恰當(dāng)?shù)胤从硨嶋H應(yīng)用,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,增強學(xué)習(xí)目的性和實踐性,真正做到提高教學(xué)質(zhì)量,重要的是認真貫徹教學(xué)大綱的要求。
新大綱規(guī)定分數(shù)四則應(yīng)用題,包括工程問題;百分數(shù)的實際應(yīng)用包括發(fā)芽率、合格率、利息等計算,最多不超過三步計算,而且只限于比較容易的。這就從內(nèi)容上和難度上作了具體的限制,有利于保證基本的知識和解題能力的落實,防止任意拔高要求,人為地編造出許多不切實際的難題,加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)。
一、會解答分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題
會解答分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題的要求,一般是指能夠理解應(yīng)用題的題意,掌握最基本的數(shù)量關(guān)系,正確判別計算的方法,會列式計算,并且善于檢驗解答的合理性與準確性。
由于分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系,跟整數(shù)應(yīng)用題相比,既有共性,又有它們的特殊性,要求學(xué)生既了解其共性,又能懂得它們的特殊性,使學(xué)生的認知水平有所提高。對此,略舉數(shù)例如下。
1.分數(shù)加、減法應(yīng)用題
分數(shù)加、減法應(yīng)用題中的已知分數(shù)有兩種情況:一種是表示具體的數(shù)量,另一種是表示兩個量的比。譬如:
①食堂第一天燒煤噸,第二天燒煤噸,兩天共燒煤多少噸? 題中已知的分數(shù),都表示具體的數(shù)量,跟整數(shù)里求和應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系是一致的,要求學(xué)生知道這是求兩個相同單位的量的和。
②食堂有一批煤,第一天燒去這批煤的,第二天燒去這批煤的,兩天共燒去這批煤的幾分之幾?題中已知的分數(shù),都是兩個量的比,而不是具體的數(shù)量。數(shù)量關(guān)系雖然跟整數(shù)里求和應(yīng)用題是一致的,這是共性;但是,學(xué)生要理解題中的、以及求出的和,都是對這批煤而言的,不是具體的量。
③地球表面積的是海洋,剩下的是陸地,陸地占地球表面積的幾分之幾?這一題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)里求剩余數(shù),用減法計算是一致的,這是共性,可是題中只給出一個已知條件是,另一個條件要學(xué)生自己想象整個地球表面積看作“1”,然后用1-=,這就是與整數(shù)應(yīng)用題不同的特殊性。
2.分數(shù)、百分數(shù)乘、除法應(yīng)用題
分數(shù)乘、除法應(yīng)用題,既含有整數(shù)乘、除法應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系,又具有新的數(shù)量關(guān)系,要求學(xué)生能夠辨析清楚。譬如:
①一輛汽車平均每分鐘行千米,30分鐘行多少千米?這種題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)里求相同加數(shù)的和,或者說求的30倍是一致的。
②10個雞蛋重千克,平均每個雞蛋重多少千克?這種題的數(shù)量關(guān)系跟整數(shù)除法題是一致的。
分數(shù)乘、除法應(yīng)用題,既含有整數(shù)乘、除法應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系,又具有新的數(shù)量關(guān)系,通常分為三種情況,或者叫做分數(shù)的三種基本應(yīng)用題:(1)求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的除法應(yīng)用題。(2)求一個數(shù)的幾分之幾是多少的乘法應(yīng)用題。(3)已知一個數(shù)的幾分之幾是多少,求這個數(shù)的除法應(yīng)用題。(新大綱中沒有這些名稱,筆者為了便于分析,沿用了這些習(xí)慣名稱)上面三種情況中的幾分之幾,如果是百分數(shù),那末這三種情況就是百分數(shù)的三種基本應(yīng)用題。這里,還得說明,新大綱只是要求教學(xué)分數(shù)四則應(yīng)用題包括工程問題,以及百分數(shù)的實際應(yīng)用問題,沒有具體規(guī)定教學(xué)哪些內(nèi)容的應(yīng)用題??紤]到各種不同風(fēng)格的教材,可能會有所取舍,因而還是按現(xiàn)行通用教材的內(nèi)容,研究教學(xué)的要求,供選擇參考。
小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識整理(一到六年級) 小學(xué)一年級 九九乘法口訣表。
學(xué)會基礎(chǔ)加減乘。 小學(xué)二年級 完善乘法口訣表,學(xué)會除混合運算,基礎(chǔ)幾何圖形。
小學(xué)三年級 學(xué)會乘法交換律,幾何面積周長等,時間量及單位。路程計算,分配律,分數(shù)小數(shù)。
小學(xué)四年級 線角自然數(shù)整數(shù),素因數(shù)梯形對稱,分數(shù)小數(shù)計算。 小學(xué)五年級 分數(shù)小數(shù)乘除法,代數(shù)方程及平均,比較大小變換,圖形面積體積。
小學(xué)六年級 比例百分比概率,圓扇圓柱及圓錐。 必背定義、定理公式 三角形的面積=底*高÷2。
公式 S= a*h÷2 正方形的面積=邊長*邊長 公式 S= a*a 長方形的面積=長*寬 公式 S= a*b 平行四邊形的面積=底*高 公式 S= a*h 梯形的面積=(上底+下底)*高÷2 公式 S=(a+b)h÷2 內(nèi)角和:三角形的內(nèi)角和=180度。 長方體的體積=長*寬*高 公式:V=abh 長方體(或正方體)的體積=底面積*高 公式:V=abh 正方體的體積=棱長*棱長*棱長 公式:V=aaa 圓的周長=直徑*π 公式:L=πd=2πr 圓的面積=半徑*半徑*π 公式:S=πr2 圓柱的表(側(cè))面積:圓柱的表(側(cè))面積等于底面的周長乘高。
公式:S=ch=πdh=2πrh 圓柱的表面積:圓柱的表面積等于底面的周長乘高再加上兩頭的圓的面積。公式:S=ch+2s=ch+2πr2 圓柱的體積:圓柱的體積等于底面積乘高。
公式:V=Sh 圓錐的體積=1/3底面*積高。公式:V=1/3Sh 分數(shù)的加、減法則:同分母的分數(shù)相加減,只把分子相加減,分母不變。
異分母的分數(shù)相加減,先通分,然后再加減。 分數(shù)的乘法則:用分子的積做分子,用分母的積做分母。
分數(shù)的除法則:除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。 讀懂理解會應(yīng)用以下定義定理性質(zhì)公式 一、算術(shù)方面 1、加法交換律:兩數(shù)相加交換加數(shù)的位置,和不變。
2、加法結(jié)合律:三個數(shù)相加,先把前兩個數(shù)相加,或先把后兩個數(shù)相加,再同第三個數(shù)相加,和不變。 3、乘法交換律:兩數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,積不變。
4、乘法結(jié)合律:三個數(shù)相乘,先把前兩個數(shù)相乘,或先把后兩個數(shù)相乘,再和第三個數(shù)相乘,它們的積不變。 5、乘法分配律:兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘,可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘,再把兩個積相加,結(jié)果不變。
如:(2+4)*5=2*5+4*5 6、除法的性質(zhì):在除法里,被除數(shù)和除數(shù)同時擴大(或縮?。┫嗤谋稊?shù),商不變。 O除以任何不是O的數(shù)都得O。
簡便乘法:被乘數(shù)、乘數(shù)末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不參加運算,有幾個零都落下,添在積的末尾。 7、么叫等式?等號左邊的數(shù)值與等號右邊的數(shù)值相等的式子叫做等式。
等式的基本性質(zhì):等式兩邊同時乘以(或除以)一個相同的數(shù),等式仍然成立。 8、什么叫方程式?答:含有未知數(shù)的等式叫方程式。
9、什么叫一元一次方程式?答:含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的次 數(shù)是一次的等式叫做一元一次方程式。 學(xué)會一元一次方程式的例法及計算。
即例出代有χ的算式并計算。 10、分數(shù):把單位"1"平均分成若干份,表示這樣的一份或幾分的數(shù),叫做分數(shù)。
11、分數(shù)的加減法則:同分母的分數(shù)相加減,只把分子相加減,分母不變。異分母的分數(shù)相加減,先通分,然后再加減。
12、分數(shù)大小的比較:同分母的分數(shù)相比較,分子大的大,分子小的小。異分母的分數(shù)相比較,先通分然后再比較;若分子相同,分母大的反而小。
13、分數(shù)乘整數(shù),用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子,分母不變。 14、分數(shù)乘分數(shù),用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作為分母。
15、分數(shù)除以整數(shù)(0除外),等于分數(shù)乘以這個整數(shù)的倒數(shù)。 16、真分數(shù):分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。
17、假分數(shù):分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。
18、帶分數(shù):把假分數(shù)寫成整數(shù)和真分數(shù)的形式,叫做帶分數(shù)。 19、分數(shù)的基本性質(zhì):分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以同一個數(shù)(0除外),分數(shù)的大小不變。
20、一個數(shù)除以分數(shù),等于這個數(shù)乘以分數(shù)的倒數(shù)。 21、甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外),等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。
數(shù)量關(guān)系計算公式方面 1、單價*數(shù)量=總價 2、單產(chǎn)量*數(shù)量=總產(chǎn)量 3、速度*時間=路程 4、工效*時間=工作總量 5、加數(shù)+加數(shù)=和 一個加數(shù)=和+另一個加數(shù) 被減數(shù)-減數(shù)=差 減數(shù)=被減數(shù)-差 被減數(shù)=減數(shù)+差 因數(shù)*因數(shù)=積 一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù) 被除數(shù)÷除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)÷商 被除數(shù)=商*除數(shù) 有余數(shù)的除法: 被除數(shù)=商*除數(shù)+余數(shù) 一個數(shù)連續(xù)用兩個數(shù)除,可以先把后兩個數(shù)相乘,再用它們的積去除這個數(shù),結(jié)果不變。例:90÷5÷6=90÷(5*6) 6、1公里=1千米 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米 1噸=1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤 1公頃=10000平方米。
1畝=666.666平方米。 1升=1立方分米=1000毫升 1毫升=1立方厘米 7、什么叫比:兩個數(shù)相除就叫做兩個數(shù)的比。
如:2÷5或3:6或1/3 比的前項和后項同時乘以或除以一個相同的數(shù)(0除外),比值不變。 8、什么叫比例:表示兩個比相等的式子叫做比例。
如3:6=9:18 9、比例。
分數(shù)的意義.分數(shù)單位及處除法和比的關(guān)系
真分數(shù)
分數(shù)的分類{假分數(shù)
帶分數(shù)
約分=>;最簡分數(shù)
分數(shù)和百分數(shù){ 分數(shù)的基本性質(zhì){
通分
百分數(shù)的意義(成數(shù).折扣.利率)
分數(shù).百分數(shù).小數(shù)大小的比較
分數(shù).百分數(shù).小數(shù)之間的互化
比的意義(比.除法分數(shù)的關(guān)系)
比:(兩個數(shù)相除的關(guān)系){比的性質(zhì)(化簡比)
求解釋中的未知數(shù)和比值
比的應(yīng)用{比例尺
按比分配
參考資料:新編小學(xué)畢業(yè)復(fù)習(xí)寶典-數(shù)學(xué)
比:兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。
比的基本性質(zhì):比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數(shù)(0除外)比值不變,這叫做比的基本性質(zhì)。
比例:表示兩個比相等的式子叫做比例。
正比例:兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)兩個數(shù)的比值一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
反比例:兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
有理數(shù) {正數(shù)
(按符號分0{0
{負數(shù)
(小學(xué))無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),其余的都是有理數(shù)。
正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。
最大的負整數(shù)是1,沒有最小的負整數(shù)。
最小的正整數(shù)是1,沒有最大的正整數(shù)。
整數(shù){正整數(shù)
{0
{負整數(shù)
數(shù)的意義
1、自然數(shù)——0、1、2、3……最小的自然數(shù)是0。自然數(shù)的個數(shù)是無限的。
2、整數(shù)——自然數(shù)都是整數(shù)。整數(shù)不都是自然數(shù)。
3、分數(shù)——1/2、1/3……(分數(shù)單位:表示其中一份的數(shù)。)整數(shù)+真分數(shù)=帶分數(shù)
4、小數(shù)——分類 有限0.1、0.2……1.5…… 無限 不循環(huán)1.23…… 循環(huán) 純循環(huán)0.3232…… 混循環(huán)0.322……
5、計數(shù)單位——個(一)、十……十分之一……
6、數(shù)位——個位、十位……十分位…… 每4個數(shù)位為一級。
7、百分數(shù)——表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。 與分數(shù)的區(qū)別—:3/100=3% 3/100米=0.03米√ 3%米*
8、數(shù)的改寫
9、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、互質(zhì)數(shù)
比和比例
1、比——兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。
2、比例——表示兩個比相等的式子叫做比例。
一單元 分數(shù)乘法
分數(shù)乘整數(shù)的意義:就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。
計算法則:分數(shù)乘整數(shù),用分數(shù)的分子和整數(shù)的積做分子,分母不變。
一個數(shù)乘分數(shù)的意義:可以看做是求這個數(shù)的幾分之幾。
計算法則:一個數(shù)乘分數(shù),用分子*的積做分子,分母相乘的做分母,為了計算的簡便可以先約分。
整數(shù)乘法的交換律,結(jié)合律,分配率,對分數(shù)同樣適用。
乘積是一的兩個數(shù)互為倒數(shù)。
2單元 位置與方向
用坐標確定位置:前面的數(shù)表示列,后面的表示行
上北下南左西右東
3單元 分數(shù)除法
分數(shù)除法的意義:分數(shù)與整數(shù)的意義相同。
單位1:
1.甲是乙的幾分之幾?
甲÷乙
2.甲比乙多幾分之幾?
(甲-乙)÷乙
3.甲比乙少幾分之幾?
(乙-甲)÷乙
路程=速度*時間
速度=路程÷時間
時間=路程÷速度
工作總量=效率*時間
工作效率=總量÷時間
工作時間=總量÷效率
4單元 比
比的意義:兩數(shù)相除就叫做兩個數(shù)的比
比的前項相當(dāng)于被除數(shù),后項相當(dāng)于除數(shù),比值相當(dāng)于商。前項相當(dāng)于分子,后項相當(dāng)于分母,比值相當(dāng)于分數(shù)的值。
5單元 圓
圓是一種平面曲線圖形。
圓中心的點叫圓心,連接圓心和圓上的任意一點叫半徑,通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫直徑
直徑=半徑*2
圓的周長公式: 面積公式:
C=πd或C=2πr S=πr的平方
6單元 百分數(shù)
便是一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫百分數(shù)。百分數(shù)也叫百分率和百分比。
百分數(shù)表示的是數(shù)量,不能帶單位;百分數(shù)是分母是100的分數(shù),分母是100的不一定是百分數(shù)。
把分數(shù)化成百分數(shù),通常先把分數(shù)化成小數(shù)(除不盡時,保留三位小數(shù)),再把小數(shù)化成百分數(shù);把百分數(shù)化成分數(shù),先把百分數(shù)改成分母是100的,能約分的要約成最簡分數(shù)。
7單元 扇形統(tǒng)計圖
統(tǒng)計圖有:扇形統(tǒng)計圖,條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖。
扇形統(tǒng)計圖的特點:能夠更清楚地了解個部分和總數(shù)的關(guān)系。
折線統(tǒng)計圖的特點:不但可以表示出數(shù)量的多少,而且還能更清楚地表示數(shù)量的變化趨勢。
條形統(tǒng)計圖的特點:能夠清楚的看出數(shù)量的多少。
8單元 數(shù)學(xué)廣角
用列方程或假設(shè)法
一、位置 在學(xué)習(xí)位置時用數(shù)對確定點的位置,起初確定一點位置是根據(jù)規(guī)定和約定。
由于在平面直角坐標系中,先畫X軸,而X軸上的坐標表示列。先用小括號將兩個數(shù)括起來,再用逗號將兩個數(shù)隔開。
括號里面的數(shù)由左至右為列數(shù)和行數(shù)。 列數(shù)與行數(shù)必須是具體的數(shù),而不能用字母如(X,5)表示,它表述一條橫線,(5,Y)它表示一條豎線,都不能確定一個點。
這部分知識滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,可在方格紙上畫一畫。 二、分數(shù)乘法 分數(shù)乘法意義:1、分數(shù)乘整數(shù)是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算,與整數(shù)乘法的意義相同。
2、分數(shù)乘分數(shù)是求一個數(shù)的幾分之幾是多少。 例:一時刷一面墻的1/4,1/5時刷一面墻的多少?求1/5的1/4是多少? 解決的方法一:用一張紙表示一面墻,折一折,這就是利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
解決的方法二:工作效率成*工作時間=工作總量 分數(shù)乘法的算法: 1、分數(shù)與整數(shù)相乘,分子與整數(shù)相乘的積做分子,分母不變。 2、分數(shù)與分數(shù)相乘,用分子相乘的積做分子,分母相乘的積做分母。
分數(shù)的化簡:分子、分母同時除以它們的最大公因數(shù)。 關(guān)于分數(shù)乘法的計算:可在乘的過程中約分,也可將積的分子分母約分,提倡在計算過程中約分,這樣簡便。
約分的書寫格式:把兩個可以約分的數(shù)先劃去,分別在它們的上下方寫出約分后的數(shù)。 分數(shù)的基本性質(zhì):分子分母同時乘或者除以一個相同的數(shù)時(0除外),分數(shù)值不變。
倒數(shù)的意義:乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。 特別強調(diào):互為倒數(shù),即倒數(shù)是兩個數(shù)的關(guān)系,它們互相依存,倒數(shù)不能單獨存在。
求倒數(shù)的方法:1、求分數(shù)的倒數(shù)是交換分子分母的位置。 2、求整數(shù)的倒數(shù)是把整數(shù)看做分母是1的分數(shù),再交換分子分母的位置。
1的倒數(shù)是它本身。因為1*1=1 0沒有倒數(shù)。
0乘任何數(shù)都得0=0*1,1/0(分母不能為0) 三、分數(shù)除法 分數(shù)除法是分數(shù)乘法的逆運算,就是已知兩個數(shù)的積與其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算。除以一個數(shù)是乘這個數(shù)的倒數(shù),除以幾就是乘這個數(shù)的幾分之一。
分數(shù)除法的基本性質(zhì):強調(diào)0除外 比:兩個數(shù)相除也叫兩個數(shù)的比。比表示兩個數(shù)的關(guān)系,可以寫成比的形式,也可以用分數(shù)表示,但仍讀幾比幾。
注:10/2=5/1,表示比讀5比1,19:2=5,是比值,比值是一個數(shù),可以是整數(shù),分數(shù),也可以是小數(shù)。比可以表示兩個相同量的關(guān)系,即倍數(shù)關(guān)系。
也可以表示兩個不同量的比,得到一個新量。例:路程/速度=時間。
化簡比: 1、用比的前項和后項同時除以它們的最大公約數(shù)。 2、兩個分數(shù)的比,用前項后項同時乘分母的最小公倍數(shù),再按化簡整數(shù)比的方法來化簡。
3、兩個小數(shù)的比,向右移動小數(shù)點的位置。也是先化成整數(shù)比。
在分數(shù)乘法的應(yīng)用部分,提倡畫線段圖分析數(shù)量關(guān)系。在圖上要標出已知量和所求問題。
關(guān)鍵是找到單位“1”,畫線段圖,主要是求一個數(shù)的幾分之幾是多少? 應(yīng)用:求一個數(shù)比另一個數(shù)多幾這類題:先求出(或少)幾,再和單位“1”(即標準量作比較)。(大數(shù)-小數(shù))/比較標準(即單位“1”) 畫線段圖: (1)標出已知和未知。
(2)分析數(shù)量關(guān)系。 (3)找等量關(guān)系。
(4)列方程。 注:兩個量的關(guān)系畫兩條線段圖,部分和整體的關(guān)系畫一條線段圖。
連比如:3:4:5讀作:3比4比5 無論是折紙實驗,還是畫線段圖,實際上都是圖形語言揭示分數(shù)除法計算過程的幾何意義。 在學(xué)習(xí)這些知識,分數(shù)乘除法,比的知識,運用了類比的數(shù)學(xué)方法(相似與變式)。
另外數(shù)據(jù)簡單,降低探究、理解算理難度,便于口算,整個推理過程處于學(xué)生思維能力的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。 比和除法、分數(shù)的區(qū)別:除法是一種運算,分數(shù)是一個數(shù),比表示兩個數(shù)的關(guān)系。
黃金分割點,最美的點。 A C B AC:AB=CB:AC 主持站在舞臺上,他站在舞臺上的黃金分割點處效果最好。
常用來做判斷的: 一個數(shù)除以小于1的數(shù),商大于被除數(shù)。 一個數(shù)除以1,商等于被除數(shù)。
一個數(shù)除以大于1的數(shù),商小于被除數(shù)。 四、圓 圓的面積推導(dǎo),用逐漸逼近的轉(zhuǎn)化思想。
把一個圓等分(偶數(shù)份)成的份數(shù)越多,拼成的圖像越接近長方形。 體現(xiàn)化圓為方,化曲為直的思想,應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想。
化新為舊,化未知為已知,化復(fù)雜為簡單,化抽象為具體。 面積相同時,長方形的周長最長,正方形居中,圓周長最短。
周長一定時,圓面積最大,正方形居中,長方形面積最小。
、、、要找資料可以去百度文庫啊、、(1)自然數(shù):我們在數(shù)物體的時候,用來表示物體個數(shù)的0,1,2,3,……,都叫做自然數(shù)。
1是自然數(shù)的記數(shù)單位。自然數(shù)既可以表示事物的多少(基數(shù)),也可以表示事物的次序(序數(shù))。
如“每星期7天”中的“7”表示的是基數(shù),“5月3日”中的“5”和“3”表示的是序數(shù)。一個物體也沒有就用0表示。
0是最小的自然數(shù)。 (2)整數(shù)和自然數(shù):自然數(shù)都是整數(shù),但只是整數(shù)的一部分(整數(shù)還包括負整數(shù))。
最小的一位數(shù)是1而不是0。 0的作用:①在數(shù)字中起占位作用,表示該位上沒有單位;②表示起點;③表示界線。
如溫度計、數(shù)軸上的0,表示正、負數(shù)的分界線。 (3)分數(shù):把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。
表示其中一份的數(shù)就是分數(shù)單位。 分數(shù)與除法的關(guān)系:分數(shù)是一種數(shù),除法是一種運算,它們是兩個不同的概念,但它們也有密切的內(nèi)在聯(lián)系。
如: (4)小數(shù):把整數(shù)“1”平均分成10份,100份,1000份……這樣的一份或幾份是十分之幾,百分之幾,千分之幾……可以用小數(shù)表示。 小數(shù)的分類: (5)數(shù)位、位數(shù)和計數(shù)單位:各個計數(shù)單位所占的位置叫做數(shù)位。
一個自然數(shù)含有數(shù)位的多少叫做位數(shù)。整數(shù)和小數(shù)都是按照十進制計數(shù)法寫出的數(shù),其中個、十、百……以及十分之一、百分之一……都是計數(shù)單位。
(6)整數(shù)和小數(shù)數(shù)位順序表: (7)百分數(shù)、成數(shù)和折扣: ①百分數(shù):表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù)。百分數(shù)也叫百分率或百分比。
②成數(shù):農(nóng)業(yè)上常用的名詞。幾成就是十分之幾。
③折扣:商業(yè)上常用的名詞。幾折就是十分之幾。
注意:百分數(shù)、成數(shù)和折扣只表示兩個數(shù)的倍比關(guān)系,而分數(shù)除了表示倍比關(guān)系外,還可以是一個具體數(shù)量。 2、數(shù)的讀法和寫法 (1)整數(shù)的讀法:從高位到低位,一級一級地讀,每一級末尾的0都不讀出來,其他數(shù)位連續(xù)有幾個0都只讀一個零。
(2)整數(shù)的寫法:從高位到低位,一級一級地寫,哪一個數(shù)位上一個單位也沒有,就在那個數(shù)位上寫0。 (3)小數(shù)的讀法和寫法:整數(shù)部分按整數(shù)來讀(寫),小數(shù)點讀作點,小數(shù)部分依次讀(寫)出每一位上的數(shù)。
3、數(shù)的改寫 (1)多位數(shù)的改寫和省略:為了讀寫方便,我們常把一個較大的多位數(shù),寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù),先找到萬位或億位,再在萬位或億位上數(shù)的右下角點上小數(shù)點,并在后面寫上“萬”或“億”,要用“=”;有時也可以根據(jù)需要省略這個數(shù)某一位后面的尾數(shù),寫成近似數(shù)。省略一般用“四舍五入法”,結(jié)果用“≈”。
(2)分數(shù)、小數(shù)與百分數(shù)的互化: (3)一個最簡分數(shù),如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù),則這個分數(shù)不能化成有限小數(shù)。 4、數(shù)的大小比較 (1)整數(shù)的大小比較:先看位數(shù),位數(shù)多的數(shù)大;位數(shù)相同,從最高位看起,相同數(shù)位上的數(shù)大的那個數(shù)就大。
(2)小數(shù)的大小比較:先比較兩個數(shù)的整數(shù)部分,整數(shù)部分大的那個數(shù)大;整數(shù)部分相同,再看它們的小數(shù)部分,從高位看起,依數(shù)位比較,相同數(shù)位上的數(shù)大的那個數(shù)就大。 (3)分數(shù)大小比較:分母相同的分數(shù),分子大的分數(shù)大;分子相同的分數(shù),分母小的分數(shù)大。
分母不同的分數(shù),先通分再比較。 第二節(jié) 數(shù)的整除和分數(shù)、小數(shù)的基本性質(zhì) 知識要點 1、數(shù)的整除 (1)整除的意義:在小學(xué)階段講“數(shù)的整除”時所說的數(shù)一般指非0自然數(shù)。
數(shù)a除以數(shù)b,除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù),我們就說,a能被b整除,或者說b能整除a。 (2)約數(shù)和倍數(shù):如果a能被b整除,a叫做b的倍數(shù),b叫做a的約數(shù)。
一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的,其中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是它本身。 一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的,其中最小的是它本身,它沒有最大的倍數(shù)。
(3)奇數(shù)和偶數(shù):能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù),因為0也能被2整除,所以最小的偶數(shù)是0;不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù),最小的奇數(shù)是1。 (4)能被2,3,5整除的數(shù)的特征: ①能被2整除的數(shù):個位是0,2,4,6,8。
②能被3整除的數(shù):各位上的數(shù)的和能被3整除。 ③能被5整除的數(shù):個位上是0或5。
(5)質(zhì)數(shù)和合數(shù):一個數(shù)如果只有1和它本身兩個約數(shù),叫做質(zhì)數(shù);一個數(shù),如果除了1和它本身,還有別的約數(shù),就叫做合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。
最小的質(zhì)數(shù)是2,最小的合數(shù)是4。 (6)分解質(zhì)因數(shù):每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式,這幾個質(zhì)數(shù)叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。
把一個合數(shù)用幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來,稱為分解質(zhì)因數(shù)。通常我們用短除法來分解質(zhì)因數(shù)。
(7)公約數(shù)和最大公約數(shù):幾個數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。
(8)互質(zhì)數(shù):公約數(shù)只有1的兩個數(shù),叫做互質(zhì)數(shù)。 (9)公倍數(shù)和最小公倍數(shù):幾個數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)。
其中最小的一個叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 (10)求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法:一般采用短除法。
如果兩個數(shù)中大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù),小數(shù)是大數(shù)的約數(shù),則大數(shù)是它們的最小公倍數(shù),小數(shù)是它們的最大公約數(shù)。如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù),則它們的最大公約數(shù)是1,最小公倍數(shù)是兩數(shù)相乘所得的積 2、分數(shù)、小數(shù)的基本性質(zhì) (1)分數(shù)的基本性質(zhì):分數(shù)的分子和分母同時。
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