等差數(shù)列 如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。
通項(xiàng)公式 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:an=a1+(n-1)d (1) 前n項(xiàng)和公式 前n項(xiàng)和公式為:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬于正整數(shù)。 推論 1.從(1)式可以看出,an是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0),(n,an)排在一條直線上,由(2)式知,Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0,a1≠0),且常數(shù)項(xiàng)為0。
2. 從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式還可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列,等等。 4.其他推論 和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))*項(xiàng)數(shù)÷2 項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1 首項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng) 末項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng) 末項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)*公差 等差中項(xiàng) 在等差數(shù)列中,等差中項(xiàng):一般設(shè)為Ar,Am+An=2Ar,所以Ar為Am,An的等差中項(xiàng),且為數(shù)列的平均數(shù)。
且任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為:an=am+(n-m)d 它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。 [編輯本段]二、等差數(shù)列的應(yīng)用: 日常生活中,人們常常用到等差數(shù)列如:在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級(jí)別 時(shí),當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí),常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí)。
若為等差數(shù)列,且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。 其實(shí),中國(guó)古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經(jīng)》提到等差數(shù)列了: 今有女子不善織布,逐日所織的布以同數(shù)遞減,初日織五尺,末一日織一尺,計(jì)織三十日,問共織幾何? 書中的解法是:并初、末日織布數(shù),半之,余以乘織訖日數(shù),即得。
這相當(dāng)于給出了Sn=(a1+an)/2*n的求和公式 [編輯本段]三、等差數(shù)列的基本性質(zhì) ⑴公差為d的等差數(shù)列,各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差仍為d. ⑵公差為d的等差數(shù)列,各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd. ⑶若、為等差數(shù)列,則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列. ⑷對(duì)任何m、n ,在等差數(shù)列中有:a = a + (n-m)d,特別地,當(dāng)m = 1時(shí),便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性. ⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且l + k + p + … = m + n + r + … (兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等),那么當(dāng)為等差數(shù)列時(shí),有:a + a + a + … = a + a + a + … . ⑹公差為d的等差數(shù)列,從中取出等距離的項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd( k為取出項(xiàng)數(shù)之差). ⑺如果是等差數(shù)列,公差為d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差數(shù)列,其公差為-d;在等差數(shù)列中,a -a = a -a = md .(其中m、k、) ⑻在等差數(shù)列中,從第一項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng). ⑼當(dāng)公差d>0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大;當(dāng)d ⑽設(shè)a 1,a 2,a 3為等差數(shù)列中的三項(xiàng),且a1 與a2 ,a 2與a 3的項(xiàng)距差之比 = d( d≠-1),則2a2 = a1+a3. [編輯本段]四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì) ⑴數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是:數(shù)列的前n項(xiàng)和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數(shù)). ⑵在等差數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N )時(shí),S -S = nd, = ;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n-1) (n )時(shí),S -S = a , = . ⑶若數(shù)列為等差數(shù)列,則S ,S -S ,S -S ,…仍然成等差數(shù)列,公差為 . ⑷若兩個(gè)等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別是S 、T (n為奇數(shù)),則 = . ⑸在等差數(shù)列中,S = a,S = b (n>m),則S = (a-b). ⑹等差數(shù)列中, 是n的一次函數(shù),且點(diǎn)(n, )均在直線y = x + (a - )上. ⑺記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S .①若a >0,公差d0,則當(dāng)a ≤0且a ≥0時(shí),S 最小. 等比數(shù)列 簡(jiǎn)介與公式 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是:An=A1*q^(n-1) 若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時(shí),則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù),點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。 (2)求和公式:Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提:q≠ 1) 任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為an=am·q^(n-m) (3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} (4)等比中項(xiàng):aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項(xiàng)。
記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列;反之,以任一個(gè)正數(shù)C為底,用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can,則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下,我們說(shuō):一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
(5)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式: 無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式:對(duì)于等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和,當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí)的極限,叫做這個(gè)無(wú)窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)和。 [編輯本段]性質(zhì) ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am*an=ap*aq; ②在等比數(shù)列中,依次每 k項(xiàng)。
等差數(shù)列與等比數(shù)列 基礎(chǔ)知識(shí) 1.數(shù)列的概念 定義1. 按照某一法則,給定了第1個(gè)數(shù),第2個(gè)數(shù),………,對(duì)于正整數(shù)有一個(gè)確定的數(shù),于是得到一列有次序的數(shù)我們稱它為數(shù)列,用符號(hào)表示。
數(shù)列中的每項(xiàng)稱為數(shù)列的項(xiàng),第項(xiàng)稱為數(shù)列的一般項(xiàng),又稱為數(shù)列的通項(xiàng)。 定義2.當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為有限個(gè)時(shí),稱這個(gè)數(shù)列為有限數(shù)列;當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為無(wú)限時(shí),則稱這個(gè)數(shù)列為無(wú)限數(shù)列。
定義3.對(duì)于一個(gè)數(shù)列,如果從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng),即,這樣的數(shù)列稱為遞增數(shù)列;如果從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng),即,這樣的數(shù)列稱為遞減數(shù)列。 定義4.如果數(shù)列的每一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一個(gè)正數(shù),即,其中是某一個(gè)正數(shù),則稱這樣的數(shù)列為有界數(shù)列,否則就稱為是無(wú)界數(shù)列。
定義5.如果在數(shù)列中,項(xiàng)數(shù)與具有如下的函數(shù)關(guān)系:,則稱這個(gè)關(guān)系為數(shù)列的通項(xiàng)公式。 2.等差數(shù)列 定義6.一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公差,常用字母表示。
等差數(shù)列具有以下幾種性質(zhì): (1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:或; (2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式:或; (3)公差非零的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為的一次函數(shù); (4)公差非零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于不含有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù); (5)設(shè)是等差數(shù)列,則(是常數(shù))是公差為的等差數(shù)列; (6)設(shè),是等差數(shù)列,則(是常數(shù))也是等差數(shù)列; (7)設(shè),是等差數(shù)列,且,則也是等差數(shù)列(即等差數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列); (8)若,則;特別地,當(dāng)時(shí),; (9)設(shè),,,則有; (10)對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列,記分別表示前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和,則,; (11)對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列,有,; (12)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則; (13)其他衍生等差數(shù)列:若已知等差數(shù)列,公差為,前項(xiàng)和為,則 ①.為等差數(shù)列,公差為; ②.(即)為等差數(shù)列,公差; ③.(即)為等差數(shù)列,公差為. 3.等比數(shù)列 定義7.一般地,如果有一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于現(xiàn)中一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公比;公比通常用字母表示(),即。 等比數(shù)列具有以下性質(zhì): (1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:或; (2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式:; (3)等比中項(xiàng):; (4)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)公式:對(duì)于等比數(shù)列的前項(xiàng)和,當(dāng)無(wú)限增大時(shí)的極限,叫做這個(gè)無(wú)窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)的和,記為,即; (5)設(shè)是等比數(shù)列,則(是常數(shù)),仍成等比數(shù)列; (6)設(shè),是等比數(shù)列,則也是等比數(shù)列; (7)設(shè)是等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且則也是等比數(shù)列(即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列); (8)設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列,則是等差數(shù)列; (9)若,則;特別地,當(dāng)時(shí),; (10)設(shè),,,則有; (11)其他衍生等比數(shù)列:若已知等比數(shù)列,公比為,前項(xiàng)和為,則 ①.為等比數(shù)列,公比為; ②.(即)為等比數(shù)列,公比為; 典例分析 例1.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差均為非負(fù)整數(shù),項(xiàng)數(shù)不小于3,且各項(xiàng)之和為972,則這樣的數(shù)列有_____________個(gè)。
解:設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為。由已知有,即。
又因?yàn)?,所以只可能取,又因?yàn)榍揖鶠檎麛?shù),故; 若,由于為正數(shù),則,即,故,這時(shí)有或; 若,則,這時(shí)有或。
等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為an=a1+(n-1)d,an=a1*q^(n-1) 二、基本公式: 9、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系:an= 10、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d≠0時(shí),an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時(shí),an是一個(gè)常數(shù)。
11、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn= Sn= Sn= 當(dāng)d≠0時(shí),Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0;當(dāng)d=0時(shí)(a1≠0),Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng),an≠0) 13、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式); 當(dāng)q≠1時(shí),Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 14、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。
15、等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則 16、等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則 17、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。 18、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。
19、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 {an bn}、、仍為等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。
21、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法:a-d,a,a+d;四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法:a/q,a,aq; 四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法:a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么?) 24、{an}為等差數(shù)列,則 (c>0)是等比數(shù)列。
25、{bn}(bn>0)是等比數(shù)列,則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數(shù)列。 26. 在等差數(shù)列 中: (1)若項(xiàng)數(shù)為 ,則 (2)若數(shù)為 則, , 27. 在等比數(shù)列 中: (1) 若項(xiàng)數(shù)為 ,則 (2)若數(shù)為 則, 四、數(shù)列求和的常用方法:公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。
關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)。 28、分組法求數(shù)列的和:如an=2n+3n 29、錯(cuò)位相減法求和:如an=(2n-1)2n 30、裂項(xiàng)法求和:如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和:如an= 32、求數(shù)列{an}的最大、最小項(xiàng)的方法: ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an= 33、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問題——常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解: (1)當(dāng) >0,d<0時(shí),滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得 取最大值. (2)當(dāng) 0時(shí),滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得 取最小值。
在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 裂項(xiàng)法求和 例題 1/1*4+1/4*7+1/7*10。
1/(3n-2)(3n+1) 怎么解這種不是n(n+1)的裂項(xiàng)法阿? 解答 1/(3n-2)(3n+1) 1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1) 只要是分式數(shù)列求和,可采用裂項(xiàng)法 裂項(xiàng)的方法是用分母中較小因式的倒數(shù)減去較大因式的倒數(shù),通分后與原通項(xiàng)公式相比較就可以得到所需要的常數(shù) 高三新數(shù)學(xué)(5)——數(shù)列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=173613 高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元試卷7-數(shù)列的求和 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=168353 高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元試卷6-等差數(shù)列與等比數(shù)列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=168352 高三數(shù)學(xué)第二輪專題(二)(數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167870 高三數(shù)學(xué)第二輪課堂選擇、填空專項(xiàng)訓(xùn)練(數(shù)列) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167866 2006年全國(guó)各地高考試題分類解析(數(shù)列) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167838 高考數(shù)學(xué)模擬新題集錦:第三部分 數(shù)列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167747 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列作業(yè) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167717 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列與函數(shù)的極限 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167716 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的通項(xiàng) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167712 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的應(yīng)用 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167714 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的綜合應(yīng)用 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167715 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的前n項(xiàng)和 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167711 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的概念 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167710 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---第三章數(shù)列參考答案 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167662 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---等差數(shù)學(xué)列和等比數(shù)列(2) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167660 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---等差數(shù)列和等比數(shù)列(3) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167661 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---等差數(shù)列和等比數(shù)列(1) http://bbs.topsage。.。
一般地,如果有一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于現(xiàn)中一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公比;公比通常用字母表示(),即。
等比數(shù)列具有以下性質(zhì):
(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:或;
(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式:;
(3)等比中項(xiàng):;
(4)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)公式:對(duì)于等比數(shù)列的前項(xiàng)和,當(dāng)無(wú)限增大時(shí)的極限,叫做這個(gè)無(wú)窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)的和,記為,即;
(5)設(shè)是等比數(shù)列,則(是常數(shù)),仍成等比數(shù)列;
(6)設(shè),是等比數(shù)列,則也是等比數(shù)列;
(7)設(shè)是等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且則也是等比數(shù)列(即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列);
(8)設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列,則是等差數(shù)列;
(9)若,則;特別地,當(dāng)時(shí),;
(10)設(shè),,,則有;
(11)其他衍生等比數(shù)列:若已知等比數(shù)列,公比為,前項(xiàng)和為,則
①.為等比數(shù)列,公比為;
②.(即)為等比數(shù)列,公比為;
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