(一)基礎(chǔ)知識(shí)梳理:
1.事件的概念:
(1)事件:在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果,叫做事件。一般用大寫字母A,B,C,?表示。
(2)必然事件:在一定條件下,一定會(huì)發(fā)生的事件。 (3)不可能事件:在一定條件下,一定不會(huì)發(fā)生的事件 (4)確定事件:必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件。
(5)隨機(jī)事件:在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。 2.隨機(jī)事件的概率:
(1)頻數(shù)與頻率:在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試
驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)An為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例n
n
AfAn?)(為事件A
出現(xiàn)的頻率。
(2)概率:在相同的條件下,大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件A的概率,記作)(AP。
3.概率的性質(zhì):必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,隨機(jī)事件的概率為
0()1PA??,必然事件和不可能事件看作隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形
4.事件的和的意義: 事件A、B的和記作A+B,表示事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生。 5.互斥事件: 在隨機(jī)試驗(yàn)中,把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件。 當(dāng)A、B為互斥事件時(shí),事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的, 因此當(dāng)A和B互斥時(shí),事件A+B的概率滿足加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥). 一般地:如果事件12,,,nAAA中的任何兩個(gè)都是互斥的,那么就說(shuō)事件12,,,nAAA彼此互斥如果事件12,,,nAAA彼此互斥,那么12()nPAAA???=
12()()()nPAPAPA???。
6.對(duì)立事件: 事件A和事件B必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件. A、B對(duì)立,即事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生,但A、B中必然有一個(gè)發(fā)生 這時(shí)P(A+B)=P(A)+P(B)=1 即P(A+A)=P(A)+P(A)=1
當(dāng)計(jì)算事件A的概率P(A)比較困難時(shí),有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件A的概率則要容易些,為此有P(A)=1-P(A)
7. 事件與集合:從集合角度來(lái)看,A、B兩個(gè)事件互斥,則表示A、B這兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集. 事件A的對(duì)立事件A所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集,即A∪A=U,A∩A=?對(duì)立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對(duì)立事件
(二)典型例題分析:
例1.將一枚均勻的硬幣向上拋擲10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件 B.隨機(jī)事件 C.不可能事件 D.無(wú)法確定
例2.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球,那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是( )
A.至少有1個(gè)白球,都是白球 B.至少有1個(gè)白球,至少有1個(gè)紅球 C.恰有1個(gè)白球,恰有2個(gè)白球 D.至少有1個(gè)白球,都是紅球
例3.甲、乙兩名圍棋選手在一次比賽中對(duì)局,分析甲勝的概率比乙勝的概率高5%,和
2
棋的概率為59%,則乙勝的概率為_(kāi)____________.
例4.如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取1張,那么抽到紅心(事件A)的概率為_(kāi)_______,取到方片(事件B)的概率是 _______.取到紅色牌(事件C)的概率是_______,取到黑色牌(事件D)的概率是________.
第1題、C(5,r)(2/3)^r(1-2/3)^(5-r)
=C(5,r)*2^r/(3^5)
=C(5,r)*2^r/243
=80/243
r=3 或r=4
第2題、£=0,概率=C(5,0)*2^0/243=1/243
£=1,概率=C(5,1)*2^1/243=10/243
£=2,概率=C(5,2)*2^2/243=40/243
£=3,概率=C(5,3)*2^3/243=80/243
£=4,概率=C(5,4)*2^4/243=80/243
£=5,概率=C(5,5)*2^5/243=32/243
£的期望=0*1/243+1*10/243+2*40/243+3*80/243+4*80/243+5*32/243=10/3
£的方差=(0-10/3)平方*1/243+(1-10/3)平方*10/243+(2-10/3)平方*40/243+(3-10/3)平方*80/243+(4-10/3)平方*80/243+(5-10/3)平方*32/243
=(0+13230+17280+2160+8640+21600)/(243*243)
=2330/2187
這個(gè)網(wǎng)址上有,你看行嗎 一.算法,概率和統(tǒng)計(jì) 1.算法初步(約12課時(shí)) (1)算法的含義、程序框圖 ①通過(guò)對(duì)解決具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析(如,二元一次方程組求解等問(wèn)題),體會(huì)算法的思想,了解算法的含義。
②通過(guò)模仿、操作、探索,經(jīng)歷通過(guò)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程。在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中(如,三元一次方程組求解等問(wèn)題),理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu):順序、條件分支、循環(huán)。
(2)基本算法語(yǔ)句 經(jīng)歷將具體問(wèn)題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語(yǔ)句的過(guò)程,理解幾種基本算法語(yǔ)句--輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句,進(jìn)一步體會(huì)算法的基本思想。 (3)通過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例,體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。
3.概率(約8課時(shí)) (1)在具體情境中,了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別。 (2)通過(guò)實(shí)例,了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式。
(3)通過(guò)實(shí)例,理解古典概型及其概率計(jì)算公式,會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。 (4)了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法(包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行模擬)估計(jì)概率,初步體會(huì)幾何概型的意義(參見(jiàn)例3)。
(5)通過(guò)閱讀材料,了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過(guò)程。 2.統(tǒng)計(jì)(約16課時(shí)) (1)隨機(jī)抽樣 ①能從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價(jià)值的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。
②結(jié)合具體的實(shí)際問(wèn)題情境,理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性。 ③在參與解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中,學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本;通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析,了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。
④能通過(guò)試驗(yàn)、查閱資料、設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷等方法收集數(shù)據(jù)。 (2)用樣本估計(jì)總體 ①通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用,在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中,學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖(參見(jiàn)例1),體會(huì)他們各自的特點(diǎn)。
②通過(guò)實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差。 ③能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并作出合理的解釋。
④在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中,進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想,會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征;初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性。 ⑤會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想,解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù),認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用,體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異。
⑥形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。 (3)變量的相關(guān)性 ①通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系。
②經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過(guò)程。知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。
二.常用邏輯用語(yǔ) 1。命題及其關(guān)系 ①了解命題的逆命題、否命題與逆否命題。
②理解必要條件、充分條件與充要條件的意義,會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系。 (2)簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例,了解"或"、"且"、"非"的含義。
(3)全稱量詞與存在量詞 ①通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義。 ②能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定。
3.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(約16課時(shí)) (1)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 ①通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù),體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵(參見(jiàn)例2、例3)。 ②通過(guò)函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 ①能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=1/x的導(dǎo)數(shù)。 ②能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
③會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表。 (3)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 ①結(jié)合實(shí)例,借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(參見(jiàn)例4);能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
②結(jié)合函數(shù)的圖像,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值,以及在給定區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值。2.圓錐曲線與方程(約12課時(shí)) (1)了解圓錐曲線的實(shí)際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。
(2)經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過(guò)程(參見(jiàn)例1),掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。 (3)了解拋物線、雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。
(4)通過(guò)圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。 (5)了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
三.統(tǒng)計(jì)案例(約14課時(shí)) 通過(guò)典型案例,學(xué)習(xí)下列一些常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)方法,并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問(wèn)題。 ①通過(guò)對(duì)典型案例(如"肺癌與吸煙有關(guān)嗎"等)的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2*2列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應(yīng)用。
②通過(guò)對(duì)典型。
近幾年全國(guó)高考概率題集錦 1.2000年全國(guó)高考天津理科卷(17) 甲乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),甲、乙二人依次各抽一題. (I) 甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少? (II) 甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少? 解:(I) 甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率為 = (II) 設(shè) 甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題為事件B,則對(duì)立事件 為兩人均抽到判斷題,則 P(B) = 1 – P( ) = 1 – = 2.2001年全國(guó)高考天津理科卷(18) 用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2. 當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí),系統(tǒng)N1正常工作,當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)N2正常工作. 已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80, 0.90, 0.90,分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率。
解:分別記三個(gè)元件A、B、C能正常工作為事件A、B、C, 由題意,這三個(gè)事件相互獨(dú)立, 系統(tǒng)N1正常工作的概率為 P(A * B * C) = P(A) * P(B) * P(C) = 0.8′0.9′0.9 = 0.648 系統(tǒng)N2中,記事件D為B、C至少有一個(gè)正常工作,則 P(D) = 1 – P( ) =1 – P( ) * P( ) = 1 – (1 –0.9)′(1 – 0.9) = 0.99 系統(tǒng)N2正常工作的概率為 P(A * D) = P(A) * P(D) = 0.8′0.99 = 0.792 說(shuō)明:用事件的并可知,系統(tǒng)N2正常工作的概率為 P( ) = P(AB) + P(AC) – P(ABC) = 0.8′0.9 + 0.8′0.9 – 0.8′0.9′0.9 = 0.792 3.2002年全國(guó)高考天津文科卷(20) 天津理科卷(19) (本小題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。) 某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作,每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5 (相互獨(dú)立)。
(Ⅰ) 求至少三人同時(shí)上網(wǎng)的概率; (Ⅱ) 至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3? 解: (Ⅰ) 至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率,即 (Ⅱ) 至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為 至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為 因此,至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為小于0.3。 4.2003年全國(guó)高考江蘇卷(17) 天津文科卷(20) (本小題考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。)
有三種產(chǎn)品,合格率分別為0.90, 0.95和0.95,各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)。 (Ⅰ) 求恰有一件不合格的概率; (Ⅱ) 求至少有兩件不合格的概率。
(精確到0.001) 解:設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件,抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C。 (Ⅰ) P(A) = 0.90,P(B) = P(C) = 0.95,P(ˉ) = 0.10,P(ˉ) = P(ˉ) = 0.05。
因?yàn)槭录嗀、B、C相互獨(dú)立,恰有一件不合格的概率為 P(A * B * ˉ) + P(A * ˉ * C) + P(ˉ * B * C) = P(A) * P(B) * P(ˉ) + P(A) * P(ˉ) * P(C) + P(ˉ) * P(B) * P(C) = 0.90 ′ 0.95 ′ 0.05 + 0.90 ′ 0.05 ′ 0.95 + 0.10 ′ 0.95 ′ 0.95 = 0.176 [[0.17575]] 答:恰有一件不合格的概率為0.176。 (Ⅱ) 解法一:至少有兩件不合格的概率為 P(A * ˉ * ˉ) + P(ˉ * B * ˉ) + P(ˉ * ˉ * C) + P(ˉ * ˉ * ˉ) = 0.90 ′ 0.052 + 2 ′ 0.10 ′ 0.95 ′ 0.05 + 0.10 ′ 0.052 = 0.012 答:至少有兩件不合格的概率為0.012。
解法二:三件都合格的概率為 P(A * B * C) = P(A) * P(B) * P(C) = 0.90 ′ 0.952 = 0.812 [[0.81225]] 由 (Ⅰ) 知,恰有一件不合格的概率為0.176,所以至少有兩件不合格的概率為 1 – [P(A * B * C) + 0.176 ] = 1 – ( 0.812 + 0.176 ) = 0.012。 答:至少有兩件不合格的概率為0.012, 5.2002年全國(guó)高考上海文科卷(7) 上海理科卷(7) 在某次花樣滑冰比賽中,發(fā)生裁判受賄事件。
競(jìng)賽委員會(huì)決定將裁判由原來(lái)的9名增到14名,但只取其中7 名裁判的評(píng)分作為有效分。若14名裁判中有2人受賄,則有效分中沒(méi)有受賄裁判的評(píng)分的概率是 。
(結(jié)果用數(shù)值表示) 提示:所求概率為 6.2003年全國(guó)高考上海文科卷(9) 上海理科卷(9) 某國(guó)際科研合作項(xiàng)目成員由11個(gè)美國(guó)人、4個(gè)法國(guó)人和5個(gè)中國(guó)人組成。現(xiàn)從中隨機(jī)選出兩位作為成果發(fā)布人,則此兩人不屬于同一個(gè)國(guó)家的概率為 。
(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示) 提示:屬于同一個(gè)國(guó)家的概率為 , 所求概率為 或:所求概率為。
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