數(shù)學銳角三角函數(shù)
初學銳角三角函數(shù)時我們最好借助畫直角三角形來理解。
1，Sin α 指的是構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的正弦直 算法是 構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的對邊比上斜邊的直。（α 指的是構(gòu)成的角度）
2，Cos α 指的是構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的余弦直 算法是 構(gòu)成該角的直角邊與斜邊的比值（α 指的是構(gòu)成的角度）
3，tan α 是指兩條直角邊的比值 算法是所求角的正切直的角的對邊比上另一條直角邊。（α 指的是構(gòu)成的角度）
細講解三角函數(shù)《銳角》三角形
你可以上網(wǎng)找PPT教學幻燈片來看，比我在這里打字要強得多
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直接講：1、銳角三角函數(shù)定義
銳角角A的正弦,余弦和正切,余切都叫做角A的銳角三角函數(shù)
正弦等于對邊比斜邊
正切等于對邊比鄰邊
2、互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函數(shù)間的關(guān)系
平方關(guān)系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·積的關(guān)系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒數(shù)關(guān)系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,
余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對邊比鄰邊,
4、三角函數(shù)值
（1）特殊角三角函數(shù)值
（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。
（3）銳角三角函數(shù)值的變化情況
（i）銳角三角函數(shù)值都是正值
（ii）當角度在0°～90°間變化時，
正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?
余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?
正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?
余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）
（iii）當角度在0°≤α≤90°間變化時，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
當角度在0°<α<90°間變化時，
tanα>0, cotα>0.
“銳角三角函數(shù)”屬于三角學，是《數(shù)學課程標準》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。從《數(shù)學課程標準》看，中學數(shù)學把三角學內(nèi)容分成兩個部分，第一部分放在義務教育第三學段，第二部分放在高中階段。在義務教育第三學段，主要研究銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容，本套教科書安排了一章的內(nèi)容，就是本章“銳角三角函數(shù)”。在高中階段的三角內(nèi)容是三角學的主體部分，包括解斜三角形、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和簡單的三角方程。無論是從內(nèi)容上看，還是從思考問題的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基礎(chǔ)，掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的方法，是學習三角函數(shù)和解斜三角形的重要準備。
本章包括銳角三角函數(shù)的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內(nèi)容。銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實際當中有著廣泛的應用，這也為銳角三角函數(shù)提供了與實際聯(lián)系的機會。研究銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ)是相似三角形的一些結(jié)論，解直角三角形主要依賴銳角三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容，因此相似三角形和勾股定理等是學習本章的直接基礎(chǔ)。本章重點是銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法。銳角三角函數(shù)的概念既是本章的難點，也是學習本章的關(guān)鍵。難點在于，銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對應的函數(shù)關(guān)系，這種角與數(shù)之間的對應關(guān)系，以及用含有幾個字母的符號sinA、cosA、tanA表示函數(shù)等，學生過去沒有接觸過，因此對學生來講有一定的難度。至于關(guān)鍵，因為只有正確掌握了銳角三角函數(shù)的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，從而才能利用這些關(guān)系解直角三角形。
本章內(nèi)容與已學 “相似三角形”“勾股定理”等內(nèi)容聯(lián)系緊密，并為高中數(shù)學中三角函數(shù)等知識的學習作好準備。
一、教科書內(nèi)容與課程學習目標
（一）本章知識結(jié)構(gòu)框圖
本章知識的展開順序
（二）教科書內(nèi)容
本章內(nèi)容分為兩節(jié)，第一節(jié)主要學習正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念，第二節(jié)主要研究直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的內(nèi)容。第一節(jié)內(nèi)容是第二節(jié)的基礎(chǔ)，第二節(jié)是第一節(jié)的應用，并對第一節(jié)的學習有鞏固和提高的作用。
在第28.1節(jié) “銳角三角函數(shù)”中，教科書先研究了正弦函數(shù)，然后在正弦函數(shù)的基礎(chǔ)上給出余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念。對于正弦函數(shù)，教科書首先設(shè)置了一個實際問題，把這個實際問題抽象成數(shù)學問題，就是在直角三角形中，已知一個銳角和這個銳角的對邊求斜邊的問題，由于這個銳角是一個特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所對的邊是斜邊的一半” 這個結(jié)論來解決這個問題，接下去教科書又提出問題，如果角所對的邊的長度發(fā)生改變，那么斜邊的長變?yōu)槎嗌伲拷鉀Q這個的問題仍然需要利用上述結(jié)論，這樣就能夠使學生體會到“無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個常數(shù)”，這里體現(xiàn)了函數(shù)的對應的思想，即的角對應數(shù)值。接下去，教科書又設(shè)置一個“思考”欄目，讓學生進一步探討在直角三角形中，的銳角所對的邊與斜邊的比有什么特點，利用勾股定理就可以發(fā)現(xiàn)這個比值也是一個常數(shù)，這樣就使學生認識到“無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個常數(shù)”，通過探討上面這兩個特殊的直角三角形，能夠使學生感受到在直角三角形中，如果一個銳角的度數(shù)分別是和，那么它們所對的邊與斜邊的比分別都是常數(shù)，這里體現(xiàn)了函數(shù)的思想，這也為引出正弦函數(shù)的概念作好鋪墊。有了上面這樣的感受，會使學生自然地想到，在直角三角形中，一個銳角取其他一定的度數(shù)時，它的對邊與斜邊的比是否也是常數(shù)的問題。這樣教科書就進入對一般情況的討論。對于這個問題，教科書設(shè)置了一個“探究”欄目，讓學生探究對于兩個大小不等的直角三角形，如果有一個銳角對應相等，那么這兩個相等的銳角所對的直角邊與斜邊的比是否相等，利用相似三角形對應邊成比例這個結(jié)論就可以得到“在直角三角形中，當銳角的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比是一個固定值”，由此引出正弦函數(shù)的概念，這樣引出正弦函數(shù)的概念，能夠使學生充分感受到函數(shù)的思想，即在直角三角形中，一個銳角的每一個確定的值，sinA都有唯一確定的值與它對應。在引出正弦函數(shù)的概念之后，教科書在一個“探究”欄目中，類比著正弦的概念，從邊與邊的比的角度提出一個開放性問題：在直角三角形中，當一個銳角確定時，這個角的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時，其他邊之間的比是否也確定了呢？提出這個問題的目的是要引出對余弦函數(shù)和正切函數(shù)的討論。由于教科書比較詳細地討論了正弦函數(shù)的概念，因此對余弦函數(shù)和正切函數(shù)概念的討論采用了直接給出的方式，具體的討論由學生類比著正弦函數(shù)自己完成。在余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念給出之后，教科書在邊注中分析了銳角三角函數(shù)的角與數(shù)值之間的對應關(guān)系，突出了函數(shù)的思想。一些特殊角的三角函數(shù)值是經(jīng)常用到的，教科書借助于學生熟悉的兩種三角尺研究了角的正弦、余弦和正切值，并以例題的形式介紹了已知銳角三角函數(shù)值求銳角的問題，當然這時所要求出的角都是、和的特殊角。教科書把求特殊角的三角函數(shù)值和已知特殊角的三角函數(shù)值求角這兩個相反方向的問題安排在一起，目的是體現(xiàn)銳角三角函數(shù)中角與函數(shù)值之間的對應關(guān)系。本節(jié)最后，教科書介紹了如何使用計算器求非特殊角的三角函數(shù)值以及如何根據(jù)三角函數(shù)值求對應的角等內(nèi)容。由于不同的計算器操作步驟有所不同，教科書只就常見的情況進行介紹。
第28.2節(jié)“解直角三角形”是在第一節(jié)“銳角三角函數(shù)”的基礎(chǔ)上研究解直角三角形的方法及其在實際中的應用。本節(jié)開始，教科書設(shè)計了一個實際背景，其中包括兩個實際問題，這兩個實際問題抽象成數(shù)學問題分別是已知直角三角形的一個銳角和斜邊，求這個角的對邊和已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，求這兩個邊的夾角的問題，解決這兩個問題需要用到第28.1節(jié)學習的有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的內(nèi)容。這兩個問題實際上屬于求解直角三角形的問題，設(shè)計這個實際問題的目的是要引出解直角三角形的內(nèi)容。因此，教科書借助于這個實際問題背景，設(shè)計了一個“探究”欄目，要求學生探討在直角三角形中，根據(jù)兩個已知條件（其中至少有一個是邊）求解直角三角形，最后教科書歸納給出求解直角三角形常用的反映三邊關(guān)系的勾股定理，反映銳角之間關(guān)系的互余關(guān)系，以及反映邊角之間關(guān)系的銳角三角函數(shù)關(guān)系。這樣，教科書就結(jié)合實際問題背景，探討了解直角三角形的內(nèi)容。接下去，教科書又結(jié)合四個實際問題介紹了解直角三角形的理論在實際中的應用。第一個實際問題是章前引言中提到的確定比薩斜塔傾斜程度的問題，這個問題實際上是已知直角三角形的斜邊和一個銳角的對邊，求這個銳角的問題，這要用到正弦函數(shù)；第二個問題是確定神舟5號變軌后，所能看到地面的最長距離，這個問題實際上是已知直角三角形的斜邊和一個銳角的鄰邊，求這個銳角的問題，這要用到余弦函數(shù)；第三個問題是確定樓房高度的問題，這個問題抽象成數(shù)學問題是已知直角三角形的一個銳角和它的鄰邊，求這個角的對邊，這要用到正切函數(shù)；第四個實際問題是在航海中確定輪船距離燈塔的距離，解決這個問題需要反復利用正弦函數(shù)。這樣教科書就通過四個實際問題體現(xiàn)了正弦、余弦和正切這幾個銳角三角函數(shù)在解決實際問題中的作用。本節(jié)最后，教科書采用將測量大壩的高度與測量山的高度相對比的方式，直觀形象地介紹了“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的微積分的基本思想。
（三）課程學習目標
對于本章內(nèi)容，教學中應達到以下幾方面要求：
1. 了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會由一個特殊角的三角函數(shù)值說出這個角；
2. 能夠正確地使用計算器，由已知銳角求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應的銳角；
3. 理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題；
4. 通過銳角三角函數(shù)的學習，進一步認識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應的思想，通過解直角三角的學習，體會數(shù)學在解決實際問題中的作用，并結(jié)合實際問題對微積分的思想有所感受。
二、本章編寫特點
（一）加強與實際的聯(lián)系
本章主要包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形兩大塊內(nèi)容，這兩大塊內(nèi)容是緊密聯(lián)系的。銳角三角函數(shù)是解直角三角形的基礎(chǔ)，解直角三角形的理論又為解決一些實際問題提供了強硬有力的工具，解直角三角形為銳角三角函數(shù)提供了與實際緊密聯(lián)系的沃土。因此本章編寫時，加強了銳角三角函數(shù)與解直角三角形兩大塊內(nèi)容與實際的聯(lián)系。例如，在章前引言中利用確定山坡上所鋪設(shè)的水管的長度問題引出正弦函數(shù)；結(jié)合使用梯子攀登墻面問題引出解直角三角形的概念和方法等。再有，教科書利用背景豐富有趣的四個實際問題，從不同的角度展示了解直角三角形在實際中的廣泛應用。教科書這樣將銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容與實際問題緊密聯(lián)系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以讓學生體會銳角三角函數(shù)和解直角三角形的理論來源于實際，是實際的需要，另一方面也讓學生看到它們在解決實際問題中所起的作用，感受由實際問題抽象出數(shù)學問題，通過解決數(shù)學問題得到數(shù)學問題的答案，再將數(shù)學問題的答案回到實際問題的這種實踐----理論----實踐的認識過程，這個認識過程符合人的認知規(guī)律，有利于調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，豐富有趣的實際問題也能夠激發(fā)學生的學習興趣。
（二）加大學生的思維空間，發(fā)展學生的思維能力
本章編寫時一方面繼續(xù)保持原有的通過設(shè)置“觀察”“思考”“討論”“探究”“歸納”等欄目來擴大學生探索交流的空間，發(fā)展學生的思維能力，同時結(jié)合本章內(nèi)容的特點，又考慮到學生的年齡特征（學習本章內(nèi)容的學生已經(jīng)是九年級），對于本章的一些結(jié)論，教科書采用了先設(shè)置一些探究性活動欄目，然后直接給出結(jié)論的做法，而將數(shù)學結(jié)論的探索過程完全留給學生，不像前兩個年級那樣，將這些探究過程通過填空或留白等方式展示探索過程來引導學生進行探究。例如，教科書在詳細研究了正弦函數(shù)，給出正弦函數(shù)的概念之后，設(shè)置了一個“探究”欄目，并提出問題“在直角三角形中，當一個銳角確定時，它的對邊與斜邊的比就隨之確定，那么，此時其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？”，接下去，教科書直接給出了余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念，而將“鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比也分別是確定的”這個結(jié)論的探究過程完全留給學生自己完成。再如，對于、、這幾個特殊角的三角函數(shù)值，教科書也是首先設(shè)置一個“思考”欄目，在欄目中提出問題“兩塊三角尺中有幾個不同的銳角，分別求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教科書用一個表格直接給出了這幾個特殊角的三角函數(shù)值，而將這些角的三角函數(shù)值的求解過程留給學生完成。這樣的一種編寫方式就為學生提供了更加廣闊的探索空間，開闊思路，發(fā)展學生的思維能力，有效改變學生的學習方式．
（三）揭示數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)
本章的一個教學目標是使學生理解銳角三角函數(shù)的概念，這個概念與學生以前所學的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)有所不同，它反映的不是數(shù)值與數(shù)值的對應關(guān)系，而是角度與數(shù)值之間的對應關(guān)系，學生初次接觸這種對應關(guān)系，理解起來有一定的困難，而這種對應關(guān)系對學生深刻地理解函數(shù)的概念又有很大幫助，因此，教科書針對這種情況，加強了對銳角三角函數(shù)所反映的角度與數(shù)值之間的對應關(guān)系的刻畫。例如，對于正弦函數(shù)，教科書首先研究了在直角三角形中，和的銳角所對的邊與斜邊的比分別是常數(shù)和，然后就一般情況進行研究，并得出結(jié)論：當一個銳角的度數(shù)一定時，這個角的對邊與斜邊的比也是一個常數(shù)，這樣就突出了銳角與比值的對應關(guān)系，即對于每一個銳角，都有一個比值與之對應，從而給出正弦函數(shù)的定義。同樣，教科書在闡述余弦函數(shù)和正切函數(shù)時也突出了銳角與“鄰邊與斜邊的比值”之間的對應關(guān)系以及銳角與“對邊和鄰邊的比值”之間的對應關(guān)系，并在邊注進一步強調(diào)了這種函數(shù)關(guān)系：對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數(shù)。同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)。這樣，就可以讓學生對變量的性質(zhì)以及變量之間的對應關(guān)系有更深刻的認識，加深對函數(shù)概念的理解。
微積分的思想在數(shù)學中占有重要的地位，其基本思想是“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”，這個基本思想是很樸素的，是可以在初等數(shù)學中反映的。教科書在本章最后，結(jié)合解直角三角形的內(nèi)容，采用與測量大壩的高度和測量山的高度相對比的方式，直觀形象地介紹了在確定山的高度時，如何將山坡“化整為零”，如何將山坡的長度“化曲為直、以直代曲”，又如何將每一部分的高度“積零為整”，這樣編寫的目的是要體現(xiàn)微積分的基本思想，讓學生通過直觀形象的例子對微積分的基本思想有一個初步的認識。綜上所述，本章編寫時注意突出數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，強調(diào)數(shù)學思想方法，這有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。
三、幾個值得關(guān)注的問題
（一）注意加強知識間的縱向聯(lián)系
第27章“相似”為本章研究銳角三角函數(shù)打下基礎(chǔ)，因為利用“相似三角形的對應邊成比例”可以解釋銳角三角函數(shù)定義的合理性。例如，教科書在研究正弦函數(shù)的概念時，利用了“在直角三角形中，所對的邊等于斜邊的一半”，得出了“在一個直角三角形中，如果一個銳角等于，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于”。事實上，在直角三角形中，如果一個角等于 ，那么這樣的直角三角形都相似，因此，不管這樣的三角形的大小如何，它們的對應邊成比例，這也就是說，對于，雖然教科書是從兩個特殊的直角三角形（的對邊分別是70和50）歸納得到的，但這個結(jié)論是可以從三角形相似的角度來解釋的。同樣，對于有類似的情況。當然，教科書利用相似三角形的有關(guān)結(jié)論解釋了在一般情形中正弦定義的合理性。因此，銳角三角函數(shù)的內(nèi)容與相似三角形是密切聯(lián)系的，教學中要注意加強兩者之間的聯(lián)系。
全等三角形的有關(guān)理論對理解本章內(nèi)容有積極的作用。例如，在研究解直角三角形時，教科書通過探索得到結(jié)論：事實上，在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果在知道兩個元素（其中至少有一個是邊），這個三角形就確定下來了，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素，這個結(jié)論的獲得實際上利用了直角三角形全等的有關(guān)理論，因為對于兩個直角三角形，如果已知兩個元素對應相等，并且其中有一個元素是邊，那么這兩個直角三角形全等，也就是已知一個直角三角形的除直角外的兩個元素，其中至少有一個是邊，這個三角形就確定下來，因此就可以利用這兩個元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理論，有利于理解解直角三角形的相關(guān)內(nèi)容。教學中要注意加強知識間的相互聯(lián)系，使學生的學習形成正遷移。
另外，本章所研究的銳角三角函數(shù)反映了銳角與數(shù)值之間的函數(shù)關(guān)系，這雖然與一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)所反映的數(shù)值與數(shù)值之間的對應關(guān)系有所不同，但它們都反映了變量之間的對應關(guān)系，本質(zhì)上是一致的，因此教學時，要注意讓學生體會這些不同函數(shù)之間的共同特征，更好地理解函數(shù)的概念。
（二）注意數(shù)形結(jié)合，自然體現(xiàn)數(shù)與形之間的聯(lián)系
數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學思想和數(shù)學方法，本章內(nèi)容又是數(shù)形結(jié)合的很理想的材料。例如，對于銳角三角函數(shù)的概念，教科書是利用學生對直角三角形的認識（在直角三角形中，所對的邊等于斜邊的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有關(guān)知識引入的，結(jié)合幾何圖形來定義銳角三角函數(shù)的概念，將數(shù)形結(jié)合起來，有利于學生理解銳角三角函數(shù)的本質(zhì)。再比如，解直角三角形在實際中有著廣泛的作用，在將這些實際問題抽象成數(shù)學問題，并利用銳角三角函數(shù)解直角三角形時，離不開幾何圖形，這時往往需要根據(jù)題意畫出幾何圖形，通過分析幾何圖形得到邊、角等的關(guān)系，再通過計算、推理等使實際問題得到解決。因此在本章教學時，要注意加強數(shù)形結(jié)合，在引入概念、推理論述、化簡計算、解決實際問題時，都要盡量畫圖幫助分析，通過圖形幫助找到直角三角形的邊、角之間的關(guān)系，加深對直角三角形本質(zhì)的理解。
