歐拉完美公式里面的5個(gè)數(shù)是怎么產(chǎn)生的？可以詳細(xì)闡述嗎？
e^iπ + 1 = 0
作為歐拉公式的一個(gè)特例，五個(gè)最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)：0，1，i，π，e，被連接成一個(gè)等式。乍一看很神奇，但其實(shí)很必然：假如這5個(gè)數(shù)不能連成等式，也一定會(huì)出現(xiàn)第6第7個(gè)常數(shù)能把大家連起來(lái)。
其實(shí)這幾個(gè)數(shù)本身的來(lái)歷很簡(jiǎn)單，按時(shí)間順序簡(jiǎn)要說(shuō)下：
1，最先被人類(lèi)認(rèn)知，代表人類(lèi)可以從“一匹馬，一個(gè)蘋(píng)果”中把數(shù)量的概念抽象出來(lái)。
0，據(jù)說(shuō)是印度人最先明確引入，是數(shù)域的第一次擴(kuò)張，也是人類(lèi)抽象能力的一次提升。
π，人類(lèi)第一次對(duì)圓周率進(jìn)行系統(tǒng)而科學(xué)的計(jì)算始于公元前二世紀(jì)的阿基米德，他提出了用內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形的周長(zhǎng)雙向逼近的極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?，?jì)算出π≈3.1416。四百多年后中國(guó)三國(guó)時(shí)期曹魏的大數(shù)學(xué)家劉徽也提出了用內(nèi)接多邊形單向逼近的方法（祖沖之沿用了劉徽的方法）。
π 還有一個(gè)影響深遠(yuǎn)的問(wèn)題，就是古希臘三大尺規(guī)作圖問(wèn)題之一的化圓為方，兩千年無(wú)人能解，19世紀(jì)初伽羅華創(chuàng)建抽象代數(shù)理論并完美指出所有尺規(guī)作圖問(wèn)題可解的問(wèn)題等價(jià)于整數(shù)對(duì)+-*/和√的擴(kuò)張域，所以化圓為方問(wèn)題等價(jià)于π是否在該擴(kuò)張域內(nèi)。幾十年后林德曼證明了π是超越數(shù)（非代數(shù)數(shù)），而上述擴(kuò)張域顯然是代數(shù)數(shù)域的子集，所以化圓為方必然無(wú)解。
i，√-1 的出現(xiàn)是必然的，是數(shù)域擴(kuò)張的必然結(jié)果。早在9世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家花剌子米的“代數(shù)學(xué)”一書(shū)里討論一元二次方程求解的判別式時(shí)已經(jīng)涉及到了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題。文藝復(fù)興時(shí)期卡丹和他學(xué)生兼女婿法拉利（不是造車(chē)的那個(gè)）研究三次和四次方程求解時(shí)已經(jīng)引進(jìn)了這個(gè)概念，卡丹稱(chēng)其為“詭辯量”，說(shuō)自己“對(duì)此既感到費(fèi)解，又能心安理得的使用它”。i就是imaginary number（想象中的數(shù)，即虛數(shù)）的首字母，也是歐拉大神拍板定案的。
e，出現(xiàn)的最晚，關(guān)于起源有多種說(shuō)法，不再贅述，對(duì)e貢獻(xiàn)最大的就是歐拉。e 在數(shù)學(xué)里最特殊和有價(jià)值的一點(diǎn)就是e^x是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的特征函數(shù)（導(dǎo)數(shù)=原函數(shù)），e的性質(zhì)是上述常數(shù)里最多的，沒(méi)法展開(kāi)說(shuō)，以下略去十萬(wàn)字…
e^iπ + 1 = 0 其實(shí)是以下歐拉公式的一個(gè)特例：
e^ix = cosx + i*sinx
這就是復(fù)數(shù)的歐拉表示法，這個(gè)公式極為重要，在絕大多數(shù)場(chǎng)合下，這比復(fù)數(shù)用a+i*b的向量表示要好用無(wú)窮倍，比如傅里葉變換和拉普拉斯變換。
請(qǐng)務(wù)必清楚：這個(gè)公式并非歐拉拍腦袋定義出來(lái)的，而是必然的，可推導(dǎo)的！不理解這點(diǎn)，大學(xué)數(shù)學(xué)就等于白學(xué)了。
下面給出兩個(gè)非常簡(jiǎn)單的證明（限于篇幅，略掉每個(gè)步驟繁瑣的嚴(yán)謹(jǐn)性證明細(xì)節(jié)）：
方法一，從右往左推：
令x=ny，則
cos x + i*sin x
= cos(ny) + i*sin(ny)
= （cos y + i*sin y）^n
令n趨于∞，則y趨于0，于是：
cos y 趨于1，sin y趨于y，則上式趨于：
（1 + iy）^n
=（1 + ix/n）^n
=（1 + kδ）^n，其中k=ix，δ=1/n趨于0。
根據(jù)二項(xiàng)式定理，δ趨于0時(shí)有：
(1+δ)^k趨于1+kδ，所以上式趨于：
（1 + δ）^kn
=（1 + 1/n）^ixn
=（(1 + 1/n)^n）^ix
= e^ix
證畢。
方法二，從左往右推：
若e^ix為復(fù)數(shù)，令其= C(x) + i*S(x)
其中C和S是兩個(gè)關(guān)于x的實(shí)函數(shù)。
兩邊求導(dǎo)有：
（e^ix）'
= i*e^ix
= i*C(x) - S(x)
= C'(x) + i*S'(x)
于是有：C'=-S，S'=C，構(gòu)成一次微分方程組。
同時(shí)代入初值x=0，有：
e^i*0 = 1，即：C(0)=1，S(0)=0。
于是上述微分方程組有唯一解。
而顯然C=cos，S=sin是該微分方程組的解。
所以只要e^ix能表示為復(fù)數(shù)，就只能表示為：
e^ix = cosx + i*sinx
我個(gè)人碰到過(guò)一個(gè)很有趣的小游戲，用到了歐拉公式：
一個(gè)大學(xué)同學(xué)出了一道24點(diǎn)游戲的高階問(wèn)題。
24點(diǎn)的基礎(chǔ)版本是用四個(gè)1-13（撲克牌A-K）的數(shù)通過(guò)加減乘除算出24。
該同學(xué)出的高階問(wèn)題是只使用兩個(gè)1，可以引進(jìn)其它算符，但不許包含任何數(shù)字或字母（因此所有三角函數(shù)和對(duì)數(shù)被禁用），算24。
這題有多解，其中最漂亮的解答是同學(xué)自帶的：
[（√-1）^ (-√-1)]！
= [i^-i]！
= [（e^iπ/2）^-i ]！
= [ e^(π/2) ]！
= [4.8…]！
= 4！
= 24
