不好意思,告訴你答案是在害您,為了您的學(xué)業(yè)成績(jī),我只能告訴您知識(shí)點(diǎn) 從整個(gè)學(xué)科上來(lái)看,高數(shù)實(shí)際上是圍繞著極限、導(dǎo)數(shù)和積分這三種基本的運(yùn)算展開(kāi)的。
對(duì)于每一種運(yùn)算,我們首先要掌握它們主要的計(jì)算方法;熟練掌握計(jì)算方法后,再思考利用這種運(yùn)算我們還可以解決哪些問(wèn)題,比如會(huì)計(jì)算極限以后:那么我們就能解決函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)間斷點(diǎn)的分類(lèi),導(dǎo)數(shù)的定義這些問(wèn)題。這樣一梳理,整個(gè)高數(shù)的邏輯體系就會(huì)比較清晰。
極限部分: 極限的計(jì)算方法很多,總結(jié)起來(lái)有十多種,這里我們只列出主要的:四則運(yùn)算,等價(jià)無(wú)窮小替換,洛必達(dá)法則,重要極限,泰勒公式,中值定理,夾逼定理,單調(diào)有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細(xì)的講述,考生可以自己回顧一下,不太清晰的地方再翻到對(duì)應(yīng)的章節(jié)看一看。
會(huì)計(jì)算極限之后,我們來(lái)說(shuō)說(shuō)直接通過(guò)極限定義的基本概念: 通過(guò)極限,我們定義了函數(shù)的連續(xù)性:函數(shù)在處連續(xù)的定義是,根據(jù)極限的定義,我們知道該定義又等價(jià)于。所以討論函數(shù)的連續(xù)性就是計(jì)算極限。
然后是間斷點(diǎn)的分類(lèi),具體標(biāo)準(zhǔn)如下: 從中我們也可以看出,討論函數(shù)間斷點(diǎn)的分類(lèi),也僅需要計(jì)算左右極限。 再往后就是導(dǎo)數(shù)的定義了,函數(shù)在處可導(dǎo)的定義是極限存在,也可以寫(xiě)成極限存在。
這里的極限式與前面相比要復(fù)雜一點(diǎn),但本質(zhì)上是一樣的。最后還有可微的定義,函數(shù)在處可微的定義是存在只與有關(guān)而與 無(wú)關(guān)的常數(shù)使得時(shí),有,其中。
直接利用其定義,我們可以證明函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)和可微是等價(jià)的,它們都強(qiáng)于函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。 以上就是極限這個(gè)體系下主要的知識(shí)點(diǎn)。
導(dǎo)數(shù)部分: 導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)其定義計(jì)算,比如對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)。但更多的時(shí)候,我們是直接通過(guò)各種求導(dǎo)法則來(lái)計(jì)算的。
主要的求導(dǎo)法則有下面這些:四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,反函數(shù)求導(dǎo)法則,變上限積分求導(dǎo)。其中變上限積分求導(dǎo)公式本質(zhì)上應(yīng)該是積分學(xué)的內(nèi)容,但出題的時(shí)候一般是和導(dǎo)數(shù)這一塊的知識(shí)點(diǎn)一起出的,所以我們就把它歸到求導(dǎo)法則里面了。
能熟練運(yùn)用這些基本的求導(dǎo)法則之后,我們還需要掌握幾種特殊形式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算:隱函數(shù)求導(dǎo),參數(shù)方程求導(dǎo)。我們對(duì)導(dǎo)數(shù)的要求是不能有不會(huì)算的導(dǎo)數(shù)。
這一部分的題目往往不難,但計(jì)算量比較大,需要考生有較高的熟練度。 然后是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
導(dǎo)數(shù)主要有如下幾個(gè)方面的應(yīng)用:切線,單調(diào)性,極值,拐點(diǎn)。每一部分都有一系列相關(guān)的定理,考生自行回顧一下。
這中間導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系是核心的考點(diǎn),考試在考查這一塊時(shí)主要有三種考法:①求單調(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性;②證明不等式;③討論方程根的個(gè)數(shù)。同時(shí),導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系還是理解極值與拐點(diǎn)部分相關(guān)定理的基礎(chǔ)。
另外,數(shù)學(xué)三的考生還需要注意導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生還要掌握曲率的計(jì)算公式。 積分部分: 一元函數(shù)積分學(xué)首先可以分成不定積分和定積分,其中不定積分是計(jì)算定積分的基礎(chǔ)。
對(duì)于不定積分,我們主要掌握它的計(jì)算方法:第一類(lèi)換元法,第二類(lèi)換元法,分部積分法。這三種方法要融會(huì)貫通,掌握各種常見(jiàn)形式函數(shù)的積分方法。
熟練掌握不定積分的計(jì)算技巧之后再來(lái)看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下,考試對(duì)定積分的定義的要求其實(shí)就是兩個(gè)方面:會(huì)用定積分的定義計(jì)算一些簡(jiǎn)單的極限;理解微元法(分割、近似、求和、取極限)。
至于可積性的嚴(yán)格定義,考生沒(méi)有必要掌握。然后是定積分這一塊相關(guān)的定理和性質(zhì),這中間我們就提醒考生注意兩個(gè)定理:積分中值定理和微積分基本定理。
這兩個(gè)定理的條件要記清楚,證明過(guò)程也要掌握,考試都直接或間接地考過(guò)。至于定積分的計(jì)算,我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)然還可以利用一些定積分的特殊性質(zhì)(如對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分)。
一般來(lái)說(shuō),只要不定積分的計(jì)算沒(méi)問(wèn)題,定積分的計(jì)算也就不成問(wèn)題。定積分之后還有個(gè)廣義積分,它實(shí)際上就是把積分過(guò)程和求極限的過(guò)程結(jié)合起來(lái)了。
考試對(duì)這一部分的要求不太高,只要掌握常見(jiàn)的廣義積分收斂性的判別,再會(huì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以了。 會(huì)計(jì)算積分了,再來(lái)看一看定積分的應(yīng)用。
定積分的應(yīng)用分為幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。其中幾何應(yīng)用包括平面圖形面積的計(jì)算,簡(jiǎn)單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計(jì)算,曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算,旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算。
物理應(yīng)用主要是一些常見(jiàn)物理量的計(jì)算,包括功,壓力,質(zhì)心,引力,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。其中數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生需要全部掌握;數(shù)學(xué)三的考生只需掌握平面圖形面積的計(jì)算,簡(jiǎn)單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計(jì)算。
這一部分題目的綜合性往往比較強(qiáng),對(duì)考生綜合能力要求較高。 這就是高等數(shù)學(xué)整個(gè)學(xué)科從三種基本運(yùn)算的角度梳理出來(lái)的主要知識(shí)點(diǎn)。
除此之外,考生需要掌握的知識(shí)點(diǎn)還有多元函數(shù)微積分,它實(shí)際上是將一元函數(shù)中的極限,連續(xù),可導(dǎo),可微,積分等概念推廣到了多元函數(shù)的情況,考生可以按照上面一樣的思路來(lái)總結(jié)。另外還有兩章:級(jí)數(shù)、微分方程。
它們可以看做是對(duì)前面知識(shí)點(diǎn)綜合的應(yīng)用。比如微分方程,它實(shí)際上就是積分學(xué)的推廣,解微分方程就是。
既然超基礎(chǔ)的題,為什么不自己做呢,哎!5、y'=-e^(-x)cos(3-x)+e^(-x)sin(3-x)=e^(-x)(sin(3-x)-cos(3-x)), 所以dy=e^(-x)(sin(3-x)-cos(3-x))dx;6、原不定積分=Sx^2dsinx=x^2sinx-2Sxsinxdx=x^2sinx+2Sxdcosx=x^2sinx+2xcosx-2Scosxdx=x^2sinx+2xcosx-2sinx+C.7、原定積分=2S(0->pi/2)costd(sint)=S(0->pi/2)(cos2t+1)dt=pi/2.8、這題不給你答案,給你思路,把兩條曲線向上平移1個(gè)單位,得y=x^2和y=3x+4,然后求兩曲線的交點(diǎn),主要是取橫坐標(biāo),有兩個(gè)點(diǎn),然后分別求變形后兩曲線在這兩點(diǎn)之間的積分,再把直線的積分減去拋物線的積分可求得.9、原式=e^(lim3x/sinx)=e^3. (嫌過(guò)程太簡(jiǎn)單,就要好好學(xué)習(xí)哦)。
既然超基礎(chǔ)的題,為什么不自己做呢,哎!5、y'=-e^(-x)cos(3-x)+e^(-x)sin(3-x)=e^(-x)(sin(3-x)-cos(3-x)), 所以dy=e^(-x)(sin(3-x)-cos(3-x))dx;6、原不定積分=Sx^2dsinx=x^2sinx-2Sxsinxdx=x^2sinx+2Sxdcosx=x^2sinx+2xcosx-2Scosxdx=x^2sinx+2xcosx-2sinx+C.7、原定積分=2S(0->pi/2)costd(sint)=S(0->pi/2)(cos2t+1)dt=pi/2.8、這題不給你答案,給你思路,把兩條曲線向上平移1個(gè)單位,得y=x^2和y=3x+4,然后求兩曲線的交點(diǎn),主要是取橫坐標(biāo),有兩個(gè)點(diǎn),然后分別求變形后兩曲線在這兩點(diǎn)之間的積分,再把直線的積分減去拋物線的積分可求得.9、原式=e^(lim3x/sinx)=e^3. (嫌過(guò)程太簡(jiǎn)單,就要好好學(xué)習(xí)哦)。
1.(1+1/2)(1+1/3)(1+1/4).(1+1/100) 2.(1-1/2)(1-1/3)(1-1/4).(1-1/100) 3.8+2-8+2 4.25*4/25*4 5.7.26-(5.26-1.5) 6.286+198 7.314-202 8.526+301 9.223-99 10.6.25+3.85-2.125+3.875 11.9-2456*21 12.0.5/11.5-4*2.75 13.1/2*3/5 14.3.375+5.75+2.25+6.625 15.1001-9036÷18。
第一:求極限 無(wú)論數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二還是數(shù)學(xué)三,求極限是高等數(shù)學(xué)的基本要求,所以也是每年必考的內(nèi)容。
區(qū)別在于有時(shí)以4分小題形式出現(xiàn),題目簡(jiǎn)單;有時(shí)以大題出現(xiàn),需要使用的方法綜合性強(qiáng)。比如大題可能需要用到等價(jià)無(wú)窮小代換、泰勒展開(kāi)式、洛必達(dá)法則、分離因子、重要極限等中的幾種方法,有時(shí)考生需要選擇其中簡(jiǎn)單易行的組合完成題目。
另外,分段函數(shù)有的點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)圖形的漸近線,以極限形式定義的函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性的研究等也需要使用極限手段達(dá)到目的,須引起注意! 第二:利用中值定理證明等式或不等式,利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式 證明題不能說(shuō)每年一定考,但基本上十年有九年都會(huì)涉及。 等式的證明包括使用4個(gè)微分中值定理,1個(gè)積分中值定理;不等式的證明有時(shí)既可使用中值定理,也可使用函數(shù)單調(diào)性。
這里泰勒中值定理的使用是一個(gè)難點(diǎn),但考查的概率不大。 第三:一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù),多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù) 求導(dǎo)問(wèn)題主要考查基本公式及運(yùn)算能力,當(dāng)然也包括對(duì)函數(shù)關(guān)系的處理能力。
一元函數(shù)求導(dǎo)可能會(huì)以參數(shù)方程求導(dǎo)、變現(xiàn)積分求導(dǎo)或應(yīng)用問(wèn)題中涉及求導(dǎo),甚或高階導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)(主要為二元函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)基本上每年都會(huì)考查,給出的函數(shù)可能是較為復(fù)雜的顯函數(shù),也可能是隱函數(shù)(包括方程組確定的隱函數(shù))。 另外,二元函數(shù)的極值與條件極值與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系極其緊密,是一個(gè)考查重點(diǎn)。
極值的充分條件、必要條件均涉及二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。 第四:級(jí)數(shù)問(wèn)題 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(特別是正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù))的判別,條件收斂與絕對(duì)收斂的本質(zhì)含義均是考查的重點(diǎn),但常常以小題形式出現(xiàn)。
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(冪級(jí)數(shù),對(duì)數(shù)一來(lái)說(shuō)還有傅里葉級(jí)數(shù),但考查的頻率不高)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù)等及函數(shù)在一點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)在考試中常占有較高的分值。 第五:積分的計(jì)算 積分的計(jì)算包括不定積分、定積分、反常積分的計(jì)算,以及二重積分的計(jì)算,對(duì)考生來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)主要是三重積分、曲線積分、曲面積分的計(jì)算。
這是以考查運(yùn)算能力與處理問(wèn)題的技巧能力為主,以對(duì)公式的熟悉及空間想象能力的考查為輔的。需要注意在復(fù)習(xí)中對(duì)一些問(wèn)題的靈活處理,例如定積分幾何意義的使用,重心、形心公式的反用,對(duì)稱(chēng)性的使用等。
第六:微分方程問(wèn)題 解常微分方程方法固定,無(wú)論是一階線性方程、可分離變量方程、齊次方程還是高階常系數(shù)齊次與非齊次方程,只要記住常用形式,注意運(yùn)算準(zhǔn)確性,在考場(chǎng)上正確運(yùn)算都沒(méi)有問(wèn)題。但這里需要注意:研究生考試對(duì)微分方程的考查常有一種反向方式,即平常給出方程求通解或特解,現(xiàn)在給出通解或特解求方程。
這需要考生對(duì)方程與其通解、特解之間的關(guān)系熟練掌握。
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